Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( A = 4x^2 + 125y^2 \) với điều kiện \( x - 5y = 1 \), ta có thể sử dụng phương pháp Lagrange hoặc biến đổi trực tiếp.

### Phương pháp biến đổi trực tiếp

1. **Biểu diễn \( x \) theo \( y \)**:
Từ điều kiện \( x - 5y = 1 \), ta có:
\[
x = 1 + 5y
\]

2. **Thay \( x \) vào biểu thức của \( A \)**:
\[
A = 4x^2 + 125y^2
\]
Thay \( x = 1 + 5y \) vào:
\[
A = 4(1 + 5y)^2 + 125y^2
\]
\[
A = 4(1 + 10y + 25y^2) + 125y^2
\]
\[
A = 4 + 40y + 100y^2 + 125y^2
\]
\[
A = 4 + 40y + 225y^2
\]

3. **Tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \)**:
\( A \) là một hàm bậc hai của \( y \):
\[
A = 225y^2 + 40y + 4
\]
Hàm bậc hai \( A = 225y^2 + 40y + 4 \) đạt giá trị nhỏ nhất tại \( y = -\frac{b}{2a} \), với \( a = 225 \) và \( b = 40 \):
\[
y = -\frac{40}{2 \cdot 225} = -\frac{40}{450} = -\frac{4}{45}
\]

4. **Tính giá trị nhỏ nhất của \( A \)**:
Thay \( y = -\frac{4}{45} \) vào biểu thức của \( A \):
\[
A = 225 \left( -\frac{4}{45} \right)^2 + 40 \left( -\frac{4}{45} \right) + 4
\]
\[
A = 225 \cdot \frac{16}{2025} - \frac{160}{45} + 4
\]
\[
A = 225 \cdot \frac{16}{2025} - \frac{160}{45} + 4
\]
\[
A = \frac{3600}{2025} - \frac{160}{45} + 4
\]
\[
A = \frac{3600}{2025} - \frac{720}{2025} + 4
\]
\[
A = \frac{2880}{2025} + 4
\]
\[
A = \frac{2880}{2025} + \frac{8100}{2025}
\]
\[
A = \frac{10980}{2025}
\]
\[
A = \frac{366}{67.5}
\]
\[
A = 5.4
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( 5.4 \).