Để tìm các số nguyên \( x \) sao cho \( 3x + 5 \) chia hết cho \( x + 1 \), ta có thể viết lại điều kiện này bằng cách sử dụng phép chia:

\[
3x + 5 = k(x + 1)
\]

với \( k \) là một số nguyên.

Chúng ta sẽ giải phương trình này:

\[
3x + 5 = kx + k
\]

Sắp xếp lại phương trình, ta có:

\[
3x - kx = k - 5
\]

\[
(3 - k)x = k - 5
\]

Nếu \( 3 - k \neq 0 \) (tức là \( k \neq 3 \)), ta có thể giải được:

\[
x = \frac{k - 5}{3 - k}
\]

Để \( x \) là một số nguyên, \( k - 5 \) phải chia hết cho \( 3 - k \).

Bây giờ, ta sẽ thử một số giá trị của \( k \):

1. **Khi \( k = 0 \)**:
\[
x = \frac{0 - 5}{3 - 0} = \frac{-5}{3} \quad (\text{không phải là số nguyên})
\]

2. **Khi \( k = 1 \)**:
\[
x = \frac{1 - 5}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2 \quad (\text{số nguyên})
\]

3. **Khi \( k = 2 \)**:
\[
x = \frac{2 - 5}{3 - 2} = \frac{-3}{1} = -3 \quad (\text{số nguyên})
\]

4. **Khi \( k = 3 \)**: Không thể áp dụng, vì mẫu số sẽ bằng 0.

5. **Khi \( k = 4 \)**:
\[
x = \frac{4 - 5}{3 - 4} = \frac{-1}{-1} = 1 \quad (\text{số nguyên})
\]

6. **Khi \( k = 5 \)**:
\[
x = \frac{5 - 5}{3 - 5} = \frac{0}{-2} = 0 \quad (\text{số nguyên})
\]

7. **Khi \( k = 6 \)**:
\[
x = \frac{6 - 5}{3 - 6} = \frac{1}{-3} \quad (\text{không phải là số nguyên})
\]

8. **Khi \( k = 7 \)**:
\[
x = \frac{7 - 5}{3 - 7} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \quad (\text{không phải là số nguyên})
\]

Dựa trên những tính toán trên, các giá trị nguyên của \( x \) tìm được là:

\[
x = -2, -3, 1, 0
\]

Tóm lại, các số nguyên \( x \) sao cho \( 3x + 5 \) chia hết cho \( x + 1 \) là \( x = -3, -2, 0, 1 \).