Để giải phương trình \(x^2 - 2(m - 1)x + 2m - 5 = 0\), ta cần tìm giá trị của \(m\) sao cho phương trình có hai nghiệm dương \(x_1\) và \(x_2\).

### a) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm dương \(x_1, x_2\)

Phương trình bậc hai có dạng:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

Với \(a = 1\), \(b = -2(m - 1)\), và \(c = 2m - 5\).

Để phương trình có hai nghiệm dương, cần thỏa mãn các điều kiện sau:
1. Phương trình có hai nghiệm thực: \(\Delta > 0\)
2. Tổng hai nghiệm dương: \(x_1 + x_2 > 0\)
3. Tích hai nghiệm dương: \(x_1 x_2 > 0\)

#### Điều kiện 1: \(\Delta > 0\)
\[\Delta = b^2 - 4ac = [-2(m - 1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m - 5)\]
\[= 4(m - 1)^2 - 8m + 20\]
\[= 4(m^2 - 2m + 1) - 8m + 20\]
\[= 4m^2 - 8m + 4 - 8m + 20\]
\[= 4m^2 - 16m + 24\]
\[= 4(m^2 - 4m + 6)\]

Để \(\Delta > 0\):
\[4(m^2 - 4m + 6) > 0\]
\[m^2 - 4m + 6 > 0\]

Phương trình \(m^2 - 4m + 6 = 0\) có \(\Delta' = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8 < 0\), nên \(m^2 - 4m + 6 > 0\) luôn đúng với mọi \(m\).

#### Điều kiện 2: \(x_1 + x_2 > 0\)
Theo định lý Viète:
\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-2(m - 1)}{1} = 2(m - 1)\]
\[2(m - 1) > 0\]
\[m - 1 > 0\]
\[m > 1\]

#### Điều kiện 3: \(x_1 x_2 > 0\)
\[x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2m - 5}{1} = 2m - 5\]
\[2m - 5 > 0\]
\[m > \frac{5}{2}\]

Kết hợp các điều kiện trên, ta có:
\[m > \frac{5}{2}\]

### b) Tìm \(m\) để \(\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2 + \left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2\) có giá trị nguyên

Ta có:
\[\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2 + \left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2 = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}\]

Theo định lý Viète:
\[x_1 + x_2 = 2(m - 1)\]
\[x_1 x_2 = 2m - 5\]

Ta có:
\[x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = [2(m - 1)]^2 - 2(2m - 5)\]
\[= 4(m - 1)^2 - 4m + 10\]
\[= 4(m^2 - 2m + 1) - 4m + 10\]
\[= 4m^2 - 8m + 4 - 4m + 10\]
\[= 4m^2 - 12m + 14\]

Do đó:
\[\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2 + \left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2 = \frac{4m^2 - 12m + 14}{2m - 5}\]

Để biểu thức này có giá trị nguyên, ta cần:
\[\frac{4m^2 - 12m + 14}{2m - 5} = k \quad (k \in \mathbb{Z})\]

Giải phương trình:
\[4m^2 - 12m + 14 = k(2m - 5)\]
\[4m^2 - 12m + 14 = 2km - 5k\]
\[4m^2 - (12 + 2k)m + (14 + 5k) = 0\]

Phương trình này có nghiệm \(m\) là số thực khi \(\Delta \geq 0\):
\[\Delta = (12 + 2k)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (14 + 5k)\]
\[= 144 + 48k + 4k^2 - 224 - 80k\]
\[= 4k^2 - 32k - 80\]
\[= 4(k^2 - 8k - 20)\]

Để \(\Delta \geq 0\):
\[k^2 - 8k - 20 \geq 0\]

Giải bất phương trình:
\[k^2 - 8k - 20 = 0\]
\[\Delta' = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144\]
\[k = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{8 \pm 12}{2}\]
\[k_1 = 10, \quad k_2 = -2\]

Bất phương trình \(k^2 - 8k - 20 \geq 0\) có nghiệm:
\[k \leq -2 \quad \text{hoặc} \quad k \geq 10\]

Vậy \(k \in \mathbb{Z}\) và \(k \leq -2\) hoặc \(k \geq 10\).

Kết luận:
- \(m > \frac{5}{2}\) để phương trình có hai nghiệm dương.
- \(k \in \mathbb{Z}\) và \(k \leq -2\) hoặc \(k \geq 10\) để \(\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2 + \left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2\) có giá trị nguyên.