Để tìm giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( N \) có giá trị nguyên, ta bắt đầu từ biểu thức của \( N \):

\[ N = B - A \]

Trong đó:

\[ B = \frac{x+1}{x-3} \]
\[ A = \frac{2}{x-3} \]

Thay các giá trị của \( B \) và \( A \) vào biểu thức của \( N \):

\[ N = \frac{x+1}{x-3} - \frac{2}{x-3} \]

Gộp hai phân số lại:

\[ N = \frac{(x+1) - 2}{x-3} \]

\[ N = \frac{x + 1 - 2}{x-3} \]

\[ N = \frac{x - 1}{x-3} \]

Để \( N \) có giá trị nguyên, phân số \(\frac{x - 1}{x-3}\) phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( x - 3 \) phải là một ước của \( x - 1 \).

Gọi \( k \) là một số nguyên sao cho:

\[ \frac{x - 1}{x - 3} = k \]

Khi đó:

\[ x - 1 = k(x - 3) \]

Giải phương trình này để tìm \( x \):

\[ x - 1 = kx - 3k \]

\[ x - kx = -3k + 1 \]

\[ x(1 - k) = -3k + 1 \]

\[ x = \frac{-3k + 1}{1 - k} \]

Để \( x \) là một số nguyên, biểu thức \(\frac{-3k + 1}{1 - k}\) phải là một số nguyên. Ta thử một số giá trị của \( k \) để tìm các giá trị nguyên của \( x \):

1. Nếu \( k = 1 \):

\[ x = \frac{-3(1) + 1}{1 - 1} \]

Biểu thức này không xác định vì mẫu số bằng 0.

2. Nếu \( k = 2 \):

\[ x = \frac{-3(2) + 1}{1 - 2} \]

\[ x = \frac{-6 + 1}{-1} \]

\[ x = \frac{-5}{-1} \]

\[ x = 5 \]

3. Nếu \( k = 0 \):

\[ x = \frac{-3(0) + 1}{1 - 0} \]

\[ x = \frac{1}{1} \]

\[ x = 1 \]

4. Nếu \( k = -1 \):

\[ x = \frac{-3(-1) + 1}{1 - (-1)} \]

\[ x = \frac{3 + 1}{1 + 1} \]

\[ x = \frac{4}{2} \]

\[ x = 2 \]

Vậy các giá trị nguyên của \( x \) để \( N \) có giá trị nguyên là \( x = 1, 2, 5 \).