Cho tam giác ABC vuông tại A, Đường cao AH. Kẻ AE vuông góc AB, AF vuông góc AC, EK vuông góc EF, FM vuông góc EF ( K THUỘC BH, M THUỘC CH )

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ AE vuông góc AB, AF vuông góc AC, EK vuông góc EF, FM vuông góc EF (K thuộc BH, M thuộc CH).

a) Biết AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính BC, BH, CH.

- Để tính BC, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

- Để tính BH và CH, ta sử dụng công thức đường cao trong tam giác vuông:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}
\]

Tiếp theo, ta sử dụng công thức tính các đoạn thẳng BH và CH:
\[
BH = \frac{AB^2}{BC} = \frac{6^2}{10} = \frac{36}{10} = 3.6 \text{ cm}
\]
\[
CH = \frac{AC^2}{BC} = \frac{8^2}{10} = \frac{64}{10} = 6.4 \text{ cm}
\]

b) Chứng minh \( AE \cdot AB = AF \cdot AC \).

- Ta có AE vuông góc với AB và AF vuông góc với AC, do đó AE và AF là các đoạn thẳng cao từ các đỉnh B và C của tam giác vuông ABC.

- Xét tam giác vuông AEB và tam giác vuông AFC:
\[
\text{Diện tích tam giác } AEB = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot AB
\]
\[
\text{Diện tích tam giác } AFC = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot AC
\]

Vì diện tích tam giác AEB và AFC đều bằng diện tích tam giác ABC (do cùng chung đáy AB và AC và chiều cao từ A), ta có:
\[
\frac{1}{2} \cdot AE \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot AC
\]

Suy ra:
\[
AE \cdot AB = AF \cdot AC
\]

c) AH cắt EF tại O. Tính góc KOM.

- Do AE vuông góc AB và AF vuông góc AC, nên EF là đường thẳng vuông góc với AH tại O.

- EK vuông góc EF và FM vuông góc EF, nên K và M là các điểm nằm trên đường thẳng vuông góc với EF tại các điểm K và M.

- Vì K thuộc BH và M thuộc CH, nên tam giác KOH và MOH đều là các tam giác vuông tại O.

- Do đó, góc KOM là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với nhau, nên:
\[
\angle KOM = 90^\circ
\]