Để chứng minh rằng \((k, k^2 - 1) = 1\), ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất (ƯCLN) của \(k\) và \(k^2 - 1\) là 1, tức là \(k\) và \(k^2 - 1\) là hai số nguyên tố cùng nhau (coprime).

Ta bắt đầu bằng cách sử dụng định nghĩa của ƯCLN và tính chất của số nguyên tố cùng nhau.

1. **Định nghĩa ƯCLN**: ƯCLN của hai số \(a\) và \(b\) là số nguyên lớn nhất chia hết cả \(a\) và \(b\).

2. **Tính chất của số nguyên tố cùng nhau**: Hai số \(a\) và \(b\) là nguyên tố cùng nhau nếu ƯCLN của chúng bằng 1.

Giả sử \(d\) là ƯCLN của \(k\) và \(k^2 - 1\). Điều này có nghĩa là \(d\) chia hết cả \(k\) và \(k^2 - 1\).

3. **Phân tích \(k^2 - 1\)**:
\[
k^2 - 1 = (k - 1)(k + 1)
\]

4. **Sử dụng tính chất chia hết**:
Vì \(d\) chia hết \(k\), ta có thể viết \(k = md\) với \(m\) là một số nguyên.

Thay \(k = md\) vào biểu thức \(k^2 - 1\):
\[
k^2 - 1 = (md)^2 - 1 = m^2d^2 - 1
\]

Vì \(d\) chia hết \(k^2 - 1\), ta có:
\[
d \mid (m^2d^2 - 1)
\]

Điều này có nghĩa là \(d\) chia hết \(m^2d^2 - 1\). Ta có thể viết lại:
\[
m^2d^2 - 1 = d \cdot (m^2d - \frac{1}{d})
\]

Vì \(d\) chia hết \(m^2d^2 - 1\), nên \(d\) cũng phải chia hết \(1\). Do đó, \(d\) phải là 1.

5. **Kết luận**:
Vì \(d\) là ƯCLN của \(k\) và \(k^2 - 1\), và \(d = 1\), ta có:
\[
(k, k^2 - 1) = 1
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng ƯCLN của \(k\) và \(k^2 - 1\) là 1, tức là \((k, k^2 - 1) = 1\).