Để chứng minh rằng \((k, k^2 - 1) = 1\), ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất (UCLN) của \(k\) và \(k^2 - 1\) là 1, tức là \(k\) và \(k^2 - 1\) là hai số nguyên tố cùng nhau (không có ước chung nào khác ngoài 1).

Giả sử \(d\) là một ước chung của \(k\) và \(k^2 - 1\). Điều này có nghĩa là \(d\) chia hết \(k\) và \(d\) cũng chia hết \(k^2 - 1\).

1. Vì \(d\) chia hết \(k\), ta có thể viết:
\[
k = md
\]
với \(m\) là một số nguyên.

2. Vì \(d\) chia hết \(k^2 - 1\), ta có thể viết:
\[
k^2 - 1 = nd
\]
với \(n\) là một số nguyên.

Thay \(k = md\) vào phương trình \(k^2 - 1 = nd\), ta có:
\[
(md)^2 - 1 = nd
\]
\[
m^2d^2 - 1 = nd
\]

Chia cả hai vế của phương trình cho \(d\), ta được:
\[
m^2d - \frac{1}{d} = n
\]

Vì \(d\) là một ước của \(k\), \(d\) phải là một số nguyên dương. Điều này có nghĩa là \(d\) phải chia hết 1, vì \(\frac{1}{d}\) phải là một số nguyên. Do đó, \(d\) chỉ có thể là 1.

Vậy, ước chung lớn nhất của \(k\) và \(k^2 - 1\) là 1, tức là:
\[
(k, k^2 - 1) = 1
\]

Điều này chứng minh rằng \(k\) và \(k^2 - 1\) là hai số nguyên tố cùng nhau.