Để tìm giá trị của \( m \) sao cho \( x^2 + y^2 \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần giải hệ phương trình và biểu diễn \( x^2 + y^2 \) theo \( m \). Sau đó, ta tìm giá trị của \( m \) để hàm số này đạt giá trị nhỏ nhất.

Giả sử hệ phương trình của chúng ta là:
\[
\begin{cases}
f_1(x, y, m) = 0 \\
f_2(x, y, m) = 0
\end{cases}
\]

Chúng ta cần tìm nghiệm \((x, y)\) của hệ phương trình này và sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của \( x^2 + y^2 \).

Do bạn không cung cấp cụ thể hệ phương trình, tôi sẽ minh họa bằng một ví dụ cụ thể. Giả sử hệ phương trình là:
\[
\begin{cases}
x + y = m \\
x - y = 1
\end{cases}
\]

Bước 1: Giải hệ phương trình để tìm \( x \) và \( y \).

Cộng hai phương trình:
\[
(x + y) + (x - y) = m + 1 \implies 2x = m + 1 \implies x = \frac{m + 1}{2}
\]

Trừ hai phương trình:
\[
(x + y) - (x - y) = m - 1 \implies 2y = m - 1 \implies y = \frac{m - 1}{2}
\]

Bước 2: Biểu diễn \( x^2 + y^2 \) theo \( m \).

\[
x^2 + y^2 = \left(\frac{m + 1}{2}\right)^2 + \left(\frac{m - 1}{2}\right)^2
\]

Tính toán chi tiết:
\[
x^2 + y^2 = \left(\frac{m + 1}{2}\right)^2 + \left(\frac{m - 1}{2}\right)^2 = \frac{(m + 1)^2}{4} + \frac{(m - 1)^2}{4}
\]

\[
= \frac{(m^2 + 2m + 1) + (m^2 - 2m + 1)}{4} = \frac{2m^2 + 2}{4} = \frac{m^2 + 1}{2}
\]

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( x^2 + y^2 \).

Hàm số \( \frac{m^2 + 1}{2} \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( m^2 \) đạt giá trị nhỏ nhất. Vì \( m^2 \geq 0 \) với mọi \( m \), giá trị nhỏ nhất của \( m^2 \) là 0.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( \frac{m^2 + 1}{2} \) là:
\[
\frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}
\]

Giá trị này đạt được khi \( m = 0 \).

Kết luận: \( m = 0 \) là giá trị để \( x^2 + y^2 \) đạt giá trị nhỏ nhất.