Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán này.

**a) Chứng minh tam giác ABD = tam giác AED**

Để chứng minh hai tam giác ABD và AED bằng nhau, chúng ta cần chứng minh rằng chúng có ba yếu tố tương ứng bằng nhau.

1. **Góc ADB và góc ADE**: Vì AD là phân giác của góc A, nên góc BAD = góc CAD. Do đó, góc ADB = góc ADE.

2. **Góc ABD và góc AED**: Góc ABD và góc AED là góc vuông vì DE vuông góc với AC.

3. **Cạnh AD chung**: Cạnh AD là cạnh chung của hai tam giác ABD và AED.

Vì vậy, tam giác ABD và tam giác AED bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh - góc (G-C-G).

**b) ED và AB cắt nhau tại F. Chứng tỏ BF = EC**

Để chứng minh BF = EC, chúng ta cần sử dụng tính chất của các tam giác vuông và các đoạn thẳng liên quan.

1. **Tam giác ABD và tam giác AED bằng nhau**: Từ phần a, chúng ta đã chứng minh rằng tam giác ABD và tam giác AED bằng nhau. Do đó, các cạnh tương ứng của chúng cũng bằng nhau, tức là BD = DE.

2. **Tam giác BFD và tam giác EFC**: Vì DE vuông góc với AC, nên tam giác BFD và tam giác EFC đều là tam giác vuông.

3. **Cạnh BF và EC**: Vì BD = DE và tam giác BFD và tam giác EFC đều là tam giác vuông, nên BF = EC.

**c) Chứng minh AD vuông góc với FC**

Để chứng minh AD vuông góc với FC, chúng ta cần sử dụng tính chất của các tam giác vuông và các đoạn thẳng liên quan.

1. **Tam giác ABD và tam giác AED bằng nhau**: Từ phần a, chúng ta đã chứng minh rằng tam giác ABD và tam giác AED bằng nhau. Do đó, các góc tương ứng của chúng cũng bằng nhau.

2. **Góc ADB và góc ADE**: Vì AD là phân giác của góc A, nên góc ADB = góc ADE.

3. **Góc BFD và góc EFC**: Vì DE vuông góc với AC, nên góc BFD và góc EFC đều là góc vuông.

4. **Góc ADF và góc CDF**: Vì AD là phân giác của góc A và DE vuông góc với AC, nên góc ADF và góc CDF đều là góc vuông.

Do đó, AD vuông góc với FC.

**d) So sánh DB và DC**

Để so sánh DB và DC, chúng ta cần sử dụng tính chất của các tam giác vuông và các đoạn thẳng liên quan.

1. **Tam giác ABD và tam giác AED bằng nhau**: Từ phần a, chúng ta đã chứng minh rằng tam giác ABD và tam giác AED bằng nhau. Do đó, các cạnh tương ứng của chúng cũng bằng nhau, tức là BD = DE.

2. **Tam giác BDC**: Vì tam giác ABC vuông tại B, nên tam giác BDC là tam giác vuông.

3. **Cạnh DB và DC**: Vì BD = DE và tam giác BDC là tam giác vuông, nên DB < DC.

Do đó, DB nhỏ hơn DC.