Để chứng minh tứ giác \(ABIM\) là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối của tứ giác này song song và bằng nhau.

Trước hết, ta nhắc lại một số tính chất của tam giác vuông và các đường đặc biệt trong tam giác:

1. Trong tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\):
- \(AH\) là đường cao từ \(A\) xuống \(BC\).
- \(AM\) là đường trung tuyến từ \(A\) đến trung điểm \(M\) của \(BC\).
- \(I\) là trung điểm của \(BC\).

2. Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác vuông:
- Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền. Do đó, \(AM = \frac{1}{2}BC\).

3. Tính chất của trung điểm:
- \(I\) là trung điểm của \(BC\), do đó \(BI = IC = \frac{1}{2}BC\).

Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng tứ giác \(ABIM\) là hình bình hành bằng cách chứng minh rằng hai cặp cạnh đối của nó song song và bằng nhau.

### Chứng minh \(AB \parallel IM\) và \(AB = IM\):

- Vì \(I\) là trung điểm của \(BC\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(IM\) là đoạn thẳng nối hai trung điểm của cạnh \(BC\). Theo định lý đường trung bình trong tam giác, đường trung bình của tam giác vuông \(ABC\) song song với cạnh huyền \(AB\) và bằng nửa cạnh huyền.
- Do đó, \(IM \parallel AB\) và \(IM = \frac{1}{2}AB\).

### Chứng minh \(AI \parallel BM\) và \(AI = BM\):

- \(I\) là trung điểm của \(BC\), nên \(AI\) là đường trung tuyến từ \(A\) đến \(I\).
- \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(BM\) là đường trung tuyến từ \(B\) đến \(M\).
- Trong tam giác vuông \(ABC\), \(AI\) và \(BM\) đều là các đường trung tuyến từ các đỉnh của tam giác vuông đến trung điểm của cạnh đối diện. Do đó, \(AI\) và \(BM\) song song với nhau và bằng nhau (vì cả hai đều bằng nửa cạnh huyền \(BC\)).

### Kết luận:

Vì \(AB \parallel IM\) và \(AB = IM\), đồng thời \(AI \parallel BM\) và \(AI = BM\), nên tứ giác \(ABIM\) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Do đó, tứ giác \(ABIM\) là hình bình hành.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng tứ giác \(ABIM\) là hình bình hành.