Để giải bài toán này, ta cần thiết lập các phương trình dựa trên các thông tin đã cho và giải chúng.

Gọi số sách ở ngăn thứ nhất, thứ hai và thứ ba lần lượt là \( x \), \( y \) và \( z \).

Theo đề bài, ta có các thông tin sau:

1. Tổng số sách ở cả 3 ngăn là 624 quyển:
\[ x + y + z = 624 \]

2. Số sách ở ngăn thứ ba bằng trung bình cộng số sách của cả 3 ngăn:
\[ z = \frac{x + y + z}{3} \]

3. Một phần ba số sách ở ngăn thứ nhất bằng hai phần bảy số sách ở ngăn thứ hai:
\[ \frac{x}{3} = \frac{2y}{7} \]

Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình này.

**Bước 1: Giải phương trình thứ hai để tìm \( z \)**

Từ phương trình \( z = \frac{x + y + z}{3} \), ta nhân cả hai vế với 3:
\[ 3z = x + y + z \]

Chuyển \( z \) sang vế trái:
\[ 3z - z = x + y \]
\[ 2z = x + y \]
\[ x + y = 2z \quad \text{(1)} \]

**Bước 2: Giải phương trình thứ ba để tìm mối quan hệ giữa \( x \) và \( y \)**

Từ phương trình \( \frac{x}{3} = \frac{2y}{7} \), ta nhân cả hai vế với 21 để loại bỏ mẫu số:
\[ 7x = 6y \]
\[ x = \frac{6y}{7} \quad \text{(2)} \]

**Bước 3: Thay \( x \) và \( y \) vào phương trình tổng số sách**

Từ phương trình (1), ta có:
\[ x + y = 2z \]

Thay \( x = \frac{6y}{7} \) vào:
\[ \frac{6y}{7} + y = 2z \]
\[ \frac{6y}{7} + \frac{7y}{7} = 2z \]
\[ \frac{13y}{7} = 2z \]
\[ 13y = 14z \]
\[ y = \frac{14z}{13} \quad \text{(3)} \]

**Bước 4: Thay \( y \) vào phương trình tổng số sách**

Từ phương trình tổng số sách \( x + y + z = 624 \), thay \( x = \frac{6y}{7} \) và \( y = \frac{14z}{13} \) vào:
\[ \frac{6 \left( \frac{14z}{13} \right)}{7} + \frac{14z}{13} + z = 624 \]
\[ \frac{6 \cdot 14z}{7 \cdot 13} + \frac{14z}{13} + z = 624 \]
\[ \frac{84z}{91} + \frac{14z}{13} + z = 624 \]

Chuyển đổi mẫu số để cộng các phân số:
\[ \frac{84z}{91} + \frac{14z \cdot 7}{13 \cdot 7} + z = 624 \]
\[ \frac{84z}{91} + \frac{98z}{91} + z = 624 \]
\[ \frac{182z}{91} + z = 624 \]
\[ 2z + z = 624 \]
\[ 3z = 624 \]
\[ z = 208 \]

**Bước 5: Tìm \( x \) và \( y \)**

Từ \( z = 208 \), ta tìm \( y \):
\[ y = \frac{14 \cdot 208}{13} = 224 \]

Từ \( y = 224 \), ta tìm \( x \):
\[ x = \frac{6 \cdot 224}{7} = 192 \]

Vậy số sách ở mỗi ngăn là:
- Ngăn thứ nhất: \( x = 192 \) quyển
- Ngăn thứ hai: \( y = 224 \) quyển
- Ngăn thứ ba: \( z = 208 \) quyển