Để giải quyết các yêu cầu của bài toán, ta cần phân tích biểu thức \( P = \frac{42 - x}{x - 15} \).

### a) P là số hữu tỉ dương

Để \( P \) là số hữu tỉ dương, tử số và mẫu số của phân số phải cùng dấu. Ta xét các trường hợp sau:

1. \( 42 - x > 0 \) và \( x - 15 > 0 \)
2. \( 42 - x < 0 \) và \( x - 15 < 0 \)

**Trường hợp 1:**
- \( 42 - x > 0 \) suy ra \( x < 42 \)
- \( x - 15 > 0 \) suy ra \( x > 15 \)

Kết hợp hai điều kiện này, ta có \( 15 < x < 42 \).

**Trường hợp 2:**
- \( 42 - x < 0 \) suy ra \( x > 42 \)
- \( x - 15 < 0 \) suy ra \( x < 15 \)

Không có giá trị \( x \) nào thỏa mãn cả hai điều kiện này cùng lúc.

Vậy, các giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) là số hữu tỉ dương là \( x \) thuộc khoảng \( (15, 42) \), tức là \( x \) có thể là các số nguyên từ 16 đến 41.

### b) P là số hữu tỉ âm

Để \( P \) là số hữu tỉ âm, tử số và mẫu số của phân số phải trái dấu. Ta xét các trường hợp sau:

1. \( 42 - x > 0 \) và \( x - 15 < 0 \)
2. \( 42 - x < 0 \) và \( x - 15 > 0 \)

**Trường hợp 1:**
- \( 42 - x > 0 \) suy ra \( x < 42 \)
- \( x - 15 < 0 \) suy ra \( x < 15 \)

Kết hợp hai điều kiện này, ta có \( x < 15 \).

**Trường hợp 2:**
- \( 42 - x < 0 \) suy ra \( x > 42 \)
- \( x - 15 > 0 \) suy ra \( x > 15 \)

Kết hợp hai điều kiện này, ta có \( x > 42 \).

Vậy, các giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) là số hữu tỉ âm là \( x \) thuộc khoảng \( (-\infty, 15) \cup (42, \infty) \), tức là \( x \) có thể là các số nguyên nhỏ hơn 15 hoặc lớn hơn 42.

### c) P không là số hữu tỉ âm cũng không là số hữu tỉ dương

Điều này có nghĩa là \( P = 0 \) hoặc \( P \) không xác định.

**Trường hợp 1: \( P = 0 \):**
- \( \frac{42 - x}{x - 15} = 0 \) suy ra \( 42 - x = 0 \)
- \( x = 42 \)

**Trường hợp 2: \( P \) không xác định:**
- \( x - 15 = 0 \) suy ra \( x = 15 \)

Vậy, các giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) không là số hữu tỉ âm cũng không là số hữu tỉ dương là \( x = 15 \) hoặc \( x = 42 \).

### d) P có giá trị nhỏ nhất

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \), ta xét hàm số \( P = \frac{42 - x}{x - 15} \). Ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất bằng cách xét đạo hàm hoặc phân tích trực tiếp.

Ta viết lại \( P \) dưới dạng:
\[ P = \frac{42 - x}{x - 15} = \frac{- (x - 42)}{x - 15} = -1 + \frac{27}{x - 15} \]

Biểu thức này cho thấy \( P \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( \frac{27}{x - 15} \) đạt giá trị nhỏ nhất. Vì \( \frac{27}{x - 15} \) là một hàm phân số, nó đạt giá trị nhỏ nhất khi \( x - 15 \) lớn nhất. Tuy nhiên, vì \( x \) là số nguyên, ta cần xét các giá trị cụ thể.

Khi \( x \to \infty \), \( \frac{27}{x - 15} \to 0 \), do đó \( P \to -1 \).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( -1 \), nhưng không có giá trị nguyên cụ thể của \( x \) để đạt được giá trị này. Tuy nhiên, giá trị \( P \) có thể tiến gần đến \( -1 \) khi \( x \) rất lớn.