Để chứng minh rằng \( T \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), ta cần chứng minh rằng \( T \) là giao điểm của ba đường cao của tam giác \( ABC \).

Trước hết, ta nhắc lại một số tính chất và định nghĩa quan trọng:
1. **Trực tâm** của tam giác là giao điểm của ba đường cao của tam giác.
2. **Đường cao** của tam giác là đường thẳng đi qua một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện.

Giả sử tam giác \( ABC \) nội tiếp trong đường tròn tâm \( O \). Gọi \( O' \) là điểm đối xứng của \( O \) qua \( BC \). Điều này có nghĩa là \( O' \) nằm trên đường thẳng vuông góc với \( BC \) tại trung điểm của \( BC \).

Bây giờ, ta kẻ đường thẳng vuông góc với \( BC \) qua \( A \) và gọi \( T \) là giao điểm của đường thẳng này với đường tròn tâm \( O' \) bán kính \( O'B \).

Ta cần chứng minh rằng \( T \) là trực tâm của tam giác \( ABC \).

### Bước 1: Chứng minh rằng \( T \) nằm trên đường cao từ \( A \) của tam giác \( ABC \)

Do \( T \) là giao điểm của đường thẳng vuông góc với \( BC \) qua \( A \) và đường tròn tâm \( O' \), nên \( T \) nằm trên đường cao từ \( A \) của tam giác \( ABC \).

### Bước 2: Chứng minh rằng \( T \) nằm trên đường cao từ \( B \) của tam giác \( ABC \)

Do \( O' \) là điểm đối xứng của \( O \) qua \( BC \), nên \( O' \) nằm trên đường thẳng vuông góc với \( BC \) tại trung điểm của \( BC \). Điều này có nghĩa là \( O' \) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \) đối xứng qua \( BC \).

Khi đó, đường tròn tâm \( O' \) bán kính \( O'B \) cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \). Do đó, \( T \) là một điểm trên đường tròn này.

### Bước 3: Chứng minh rằng \( T \) nằm trên đường cao từ \( C \) của tam giác \( ABC \)

Tương tự như bước 2, do \( O' \) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \) đối xứng qua \( BC \), nên \( T \) cũng nằm trên đường cao từ \( C \) của tam giác \( ABC \).

### Kết luận

Vì \( T \) nằm trên cả ba đường cao của tam giác \( ABC \), nên \( T \) là trực tâm của tam giác \( ABC \).

Do đó, ta đã chứng minh rằng \( T \) là trực tâm của tam giác \( ABC \).