Để giải quyết các yêu cầu của bài toán, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần:

**a. Chứng minh AB // HK:**

Vì ∆ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90°. Do đó, AC vuông góc với AB.

Vì KH vuông góc với AC, nên KH cũng vuông góc với AB.

Vì AB và KH cùng vuông góc với AC, nên AB // KH (theo định lý hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau).

**b. Chứng minh ∆AKI là tam giác cân:**

Theo giả thiết, I nằm trên tia đối của tia HK và HI = HK.

Xét tam giác KHI, ta có:
- KH = HI (theo giả thiết)
- Góc KHI = 180° - góc KHA (vì I nằm trên tia đối của tia HK)

Do đó, tam giác KHI là tam giác cân tại H.

Xét tam giác AKI, ta có:
- AK là cạnh chung
- HI = HK (theo giả thiết)

Do đó, tam giác AKI là tam giác cân tại K.

**c. Chứng minh góc BAK = góc AIK:**

Xét tam giác AKI, ta đã chứng minh tam giác AKI là tam giác cân tại K.

Do đó, góc BAK = góc AIK (vì hai góc này là hai góc ở đáy của tam giác cân AKI).

**d. Chứng minh ∆AIC = ∆AKC:**

Xét tam giác AIC và tam giác AKC, ta có:
- AC là cạnh chung
- AI = AK (vì tam giác AKI là tam giác cân tại K)
- Góc CAI = góc CAK (vì góc BAK = góc AIK đã chứng minh ở phần c)

Do đó, ∆AIC = ∆AKC (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh).

Như vậy, ta đã chứng minh được tất cả các yêu cầu của bài toán.