Cho 2 đoạn thẳng AB, CD biết AB = CD và AB vuông góc với CD tại O. Đồng thời OA = OC và OB = OD. Kẻ OH vuông góc với BC (H thuộc BC). Chứng minh OH đi qua trung điểm của AD

Để chứng minh OH đi qua trung điểm của AD, ta cần sử dụng các tính chất hình học và đối xứng của các đoạn thẳng và tam giác trong bài toán.

1. **Xác định các điểm và tính chất:**
- Gọi \( O \) là giao điểm của \( AB \) và \( CD \).
- \( AB = CD \) và \( AB \) vuông góc với \( CD \) tại \( O \).
- \( OA = OC \) và \( OB = OD \).

2. **Chứng minh các tam giác vuông bằng nhau:**
- Xét các tam giác \( \triangle OAC \) và \( \triangle OBD \):
- \( OA = OC \) (giả thiết).
- \( OB = OD \) (giả thiết).
- \( \angle AOB = \angle COD = 90^\circ \) (do \( AB \) vuông góc với \( CD \)).
- Do đó, \( \triangle OAC \) và \( \triangle OBD \) là các tam giác vuông bằng nhau theo trường hợp cạnh-huyền-cạnh (CHC).

3. **Tính chất đối xứng:**
- Vì \( \triangle OAC \) và \( \triangle OBD \) bằng nhau và đối xứng qua \( O \), nên \( O \) là trung điểm của cả \( AC \) và \( BD \).

4. **Xác định điểm H:**
- Kẻ \( OH \) vuông góc với \( BC \) tại \( H \).

5. **Chứng minh OH đi qua trung điểm của AD:**
- Gọi \( M \) là trung điểm của \( AD \).
- Ta cần chứng minh \( OH \) đi qua \( M \).

6. **Sử dụng tính chất đối xứng và trung điểm:**
- Do \( O \) là trung điểm của \( AC \) và \( BD \), và \( OA = OC \), \( OB = OD \), nên \( AD \) là đường chéo của hình chữ nhật \( ABCD \).
- Trung điểm \( M \) của \( AD \) cũng là trung điểm của \( BC \) do tính chất hình chữ nhật.

7. **Chứng minh \( OH \) đi qua \( M \):**
- Vì \( OH \) vuông góc với \( BC \) tại \( H \), và \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( H \) cũng là trung điểm của \( BC \).
- Do đó, \( OH \) đi qua \( M \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( OH \) đi qua trung điểm của \( AD \).