Để giải phương trình \( y' = 0 \) cho hàm số \( y = x^3 \ln(x) \), chúng ta cần tìm đạo hàm của \( y \) và sau đó giải phương trình \( y' = 0 \).

Bước 1: Tính đạo hàm của \( y \).

Hàm số \( y = x^3 \ln(x) \) là tích của hai hàm số \( u(x) = x^3 \) và \( v(x) = \ln(x) \). Sử dụng quy tắc đạo hàm của tích hai hàm số, ta có:

\[ y' = u'v + uv' \]

Trong đó:
- \( u(x) = x^3 \) thì \( u'(x) = 3x^2 \)
- \( v(x) = \ln(x) \) thì \( v'(x) = \frac{1}{x} \)

Thay vào công thức, ta có:

\[ y' = (x^3)' \ln(x) + x^3 (\ln(x))' \]
\[ y' = 3x^2 \ln(x) + x^3 \cdot \frac{1}{x} \]
\[ y' = 3x^2 \ln(x) + x^2 \]

Bước 2: Giải phương trình \( y' = 0 \).

\[ 3x^2 \ln(x) + x^2 = 0 \]

Chúng ta có thể đặt \( x^2 \) ra ngoài làm nhân tử chung:

\[ x^2 (3 \ln(x) + 1) = 0 \]

Phương trình này có hai nhân tử, do đó ta xét từng nhân tử bằng 0:

1. \( x^2 = 0 \)

Điều này cho ta:

\[ x = 0 \]

Tuy nhiên, \( \ln(x) \) không xác định tại \( x = 0 \), do đó nghiệm này không hợp lệ.

2. \( 3 \ln(x) + 1 = 0 \)

Giải phương trình này:

\[ 3 \ln(x) = -1 \]
\[ \ln(x) = -\frac{1}{3} \]

Lấy hàm mũ cơ số \( e \) hai vế:

\[ x = e^{-\frac{1}{3}} \]

Vậy nghiệm của phương trình \( y' = 0 \) là:

\[ x = e^{-\frac{1}{3}} \]