Để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đã cho, chúng ta sẽ sử dụng các phương pháp toán học như đạo hàm và bất đẳng thức.

### a) \( E = \frac{-9}{(5x+1)^2} + 3 \)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( E \), ta xét hàm số \( y = (5x+1)^2 \). Vì \( y \geq 0 \) với mọi \( x \), ta có:

\[ \frac{-9}{y} + 3 \]

Hàm số \( \frac{-9}{y} \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( y \) đạt giá trị lớn nhất. Tuy nhiên, \( y \) không thể đạt giá trị vô cùng lớn vì \( y = (5x+1)^2 \) là một hàm bậc hai và luôn dương. Do đó, ta xét giá trị nhỏ nhất của \( y \):

\[ y \geq 0 \]

Khi \( y = 0 \), \( \frac{-9}{y} \) không xác định. Tuy nhiên, khi \( y \) tiến tới vô cùng lớn, \( \frac{-9}{y} \) tiến tới 0. Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( E \) là:

\[ E = 0 + 3 = 3 \]

### b) \( F = \frac{2x^2 - 9}{x^2 + 3} \)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( F \), ta xét hàm số \( F(x) \):

\[ F(x) = \frac{2x^2 - 9}{x^2 + 3} \]

Ta xét đạo hàm của \( F(x) \) để tìm các điểm cực trị:

\[ F'(x) = \frac{(2x^2 - 9)'(x^2 + 3) - (2x^2 - 9)(x^2 + 3)'}{(x^2 + 3)^2} \]

\[ F'(x) = \frac{4x(x^2 + 3) - (2x^2 - 9) \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2} \]

\[ F'(x) = \frac{4x^3 + 12x - 4x^3 + 18x}{(x^2 + 3)^2} \]

\[ F'(x) = \frac{30x}{(x^2 + 3)^2} \]

Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \( F'(x) = 0 \):

\[ \frac{30x}{(x^2 + 3)^2} = 0 \]

\[ 30x = 0 \]

\[ x = 0 \]

Ta xét giá trị của \( F(x) \) tại \( x = 0 \):

\[ F(0) = \frac{2 \cdot 0^2 - 9}{0^2 + 3} = \frac{-9}{3} = -3 \]

Để kiểm tra xem đây có phải là giá trị nhỏ nhất hay không, ta xét giới hạn của \( F(x) \) khi \( x \) tiến tới vô cùng lớn và vô cùng nhỏ:

\[ \lim_{x \to \pm \infty} F(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2 - 9}{x^2 + 3} = 2 \]

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( F(x) \) là:

\[ F_{\text{min}} = -3 \]

### Kết luận:

a) Giá trị nhỏ nhất của \( E \) là \( 3 \).

b) Giá trị nhỏ nhất của \( F \) là \( -3 \).