Cho hình bình hành ABCD. Nối BD. Kẻ AE vuông góc với BD. Chứng minh:

A. \( AE \parallel CF \)

B. Tứ giác \( AECF \) là hình bình hành.

### A. Chứng minh \( AE \parallel CF \)

1. **Tính chất hình bình hành:**

Trong hình bình hành \( ABCD \), ta có:
- \( AB \parallel CD \)
- \( AD \parallel BC \)
- \( AB = CD \)
- \( AD = BC \)

2. **Góc vuông:**

Kẻ \( AE \) vuông góc với \( BD \), tức là \( AE \perp BD \).

3. **Đường chéo của hình bình hành:**

Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Gọi \( O \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \). Ta có:
- \( O \) là trung điểm của \( AC \)
- \( O \) là trung điểm của \( BD \)

4. **Kẻ \( CF \) vuông góc với \( BD \):**

Từ \( C \), kẻ \( CF \) vuông góc với \( BD \), tức là \( CF \perp BD \).

5. **Chứng minh \( AE \parallel CF \):**

Vì \( AE \perp BD \) và \( CF \perp BD \), nên \( AE \parallel CF \) (hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau).

### B. Chứng minh tứ giác \( AECF \) là hình bình hành

1. **Tính chất song song:**

Từ phần A, ta đã chứng minh được \( AE \parallel CF \).

2. **Tính chất vuông góc:**

Ta có \( AE \perp BD \) và \( CF \perp BD \).

3. **Tính chất đối xứng:**

Trong hình bình hành \( ABCD \), hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại trung điểm \( O \). Do đó, \( O \) là trung điểm của cả \( AC \) và \( BD \).

4. **Tính chất đối xứng của \( AE \) và \( CF \):**

Vì \( AE \parallel CF \) và \( AE \) và \( CF \) đều vuông góc với \( BD \), nên \( AE \) và \( CF \) là hai đường thẳng song song và bằng nhau.

5. **Chứng minh tứ giác \( AECF \) là hình bình hành:**

Trong tứ giác \( AECF \):
- \( AE \parallel CF \)
- \( AE = CF \) (do cùng vuông góc với \( BD \) và có cùng độ dài từ \( A \) và \( C \) đến \( BD \))

Do đó, tứ giác \( AECF \) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên \( AECF \) là hình bình hành.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được:
A. \( AE \parallel CF \)
B. Tứ giác \( AECF \) là hình bình hành.