Để tìm cực trị của hàm số \( y = \frac{x}{x^2 + 1} \), chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Tính đạo hàm của hàm số**:
Sử dụng quy tắc đạo hàm của thương số, ta có:
\[
y' = \frac{(x^2 + 1) \cdot 1 - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]

2. **Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0**:
Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \):
\[
\frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} = 0
\]
Điều này tương đương với:
\[
1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1
\]

3. **Xác định loại cực trị tại các điểm tìm được**:
Để xác định loại cực trị (cực đại hay cực tiểu), ta có thể sử dụng đạo hàm bậc hai hoặc xét dấu của đạo hàm bậc nhất quanh các điểm này.

Tính đạo hàm bậc hai của hàm số:
\[
y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} \right)
\]
Sử dụng quy tắc đạo hàm của thương số lần nữa:
\[
y'' = \frac{(x^2 + 1)^2 \cdot (-2x) - (1 - x^2) \cdot 2(x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^4}
\]
\[
y'' = \frac{-2x(x^2 + 1)^2 - 4x(1 - x^2)(x^2 + 1)}{(x^2 + 1)^4}
\]
\[
y'' = \frac{-2x(x^2 + 1 + 2(1 - x^2))}{(x^2 + 1)^3}
\]
\[
y'' = \frac{-2x(x^2 + 1 + 2 - 2x^2)}{(x^2 + 1)^3}
\]
\[
y'' = \frac{-2x(3 - x^2)}{(x^2 + 1)^3}
\]

Xét tại \( x = 1 \):
\[
y''(1) = \frac{-2 \cdot 1 \cdot (3 - 1^2)}{(1^2 + 1)^3} = \frac{-2 \cdot 1 \cdot 2}{2^3} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}
\]
Vì \( y''(1) < 0 \), nên \( x = 1 \) là điểm cực đại.

Xét tại \( x = -1 \):
\[
y''(-1) = \frac{-2 \cdot (-1) \cdot (3 - (-1)^2)}{((-1)^2 + 1)^3} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 2}{2^3} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
\]
Vì \( y''(-1) > 0 \), nên \( x = -1 \) là điểm cực tiểu.

4. **Tính giá trị cực trị**:
- Tại \( x = 1 \):
\[
y(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}
\]
- Tại \( x = -1 \):
\[
y(-1) = \frac{-1}{(-1)^2 + 1} = \frac{-1}{2}
\]

Vậy hàm số \( y = \frac{x}{x^2 + 1} \) có cực đại tại \( x = 1 \) với giá trị cực đại là \( \frac{1}{2} \), và cực tiểu tại \( x = -1 \) với giá trị cực tiểu là \( -\frac{1}{2} \).