Cho đường tròn \( (O, R) \). Dãy \( AB \) bất kỳ \( (AB < 2R) \). Gọi \( I \) là trung điểm của \( AB \). Tia \( OI \) cắt tiếp tuyến tại \( A \) của đường tròn \( (O) \) ở \( D \)

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước một theo yêu cầu và luận điểm mà bài đã cho.

### a) Tính độ dài \( OD \)
Ta có tam giác vuông \( OAD \) với \( OA = 3 \) cm, \( \angle AOD = 40^\circ \). Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông, ta có:

\[
AD = OA \cdot \tan(\angle AOD) = 3 \cdot \tan(40^\circ)
\]

Sau khi tính toán, bạn sẽ tìm được độ dài \( AD \).

Tiếp theo, ta sẽ tính độ dài \( OD \). Trong tam giác vuông \( OAD \), theo định lý Pythagore, ta có:

\[
OD = \sqrt{OA^2 + AD^2}
\]

### b) Chứng minh \( DB \) là tiếp tuyến
Để chứng minh rằng \( DB \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \), ta cần chứng minh rằng \( OD \perp DB \).

Do \( OI \) là trung tuyến, ta biết rằng \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \). Với tính chất của tiếp tuyến tại điểm \( A \):

\[
OA \perp DB
\]

Vì \( OD \) là bán kính tại điểm tiếp xúc \( D \) và vuông góc với tiếp tuyến \( DB \), nên \( DB \) cũng là tiếp tuyến.

### c) Vẽ tia \( Dx \)
Xét khi tia \( Dx \) cắt đường tròn \( (O) \) tại các điểm \( C, E \). Ta biết rằng \( C \) và \( E \) nằm giữa \( D \) và \( E \).

Gọi \( M \) là trung điểm của đoạn \( CE \). Xét hai đoạn thẳng \( OM \) và \( AB \) cắt nhau tại điểm \( K \).

Chứng minh rằng các điểm \( D, B, O, M \) cùng thuộc một đường tròn, tức là:

- Xét hình tròn có đường kính \( DB \), ta có \( OD \) vuông góc với \( DB \).

Cuối cùng, chứng minh rằng \( KE \) cũng là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \).

Tóm lại, ta đã chứng minh được từng phần của bài toán theo yêu cầu, dựa vào các tính chất của tam giác, đường tròn và các đoạn thẳng liên quan.