Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của đường trung tuyến, đường thẳng song song và các định lý hình học cơ bản.

**a) Chứng minh rằng \( I \) là trung điểm của \( NK \)**

Giả sử \( I \) là điểm cắt của đường thẳng song song với \( BC \) và đường trung tuyến \( AM \). Vì \( I \) nằm trên đường trung tuyến \( AM \), nên \( I \) chia \( AM \) thành hai đoạn bằng nhau.

Do đường thẳng song song với \( BC \) cắt các cạnh \( AB \) và \( AC \) tại \( N \) và \( K \) tương ứng, ta có:
\[ \frac{AN}{NB} = \frac{AK}{KC} \]

Vì \( I \) nằm trên đường trung tuyến \( AM \), nên \( I \) chia đoạn \( AM \) thành hai đoạn bằng nhau, tức là:
\[ AI = IM \]

Do đó, \( I \) là trung điểm của \( NK \).

**b) Gọi \( L \) là giao điểm của \( AM \) và \( BK \). Chứng minh rằng \(\frac{NI}{CM} = \frac{LI}{LM}\)**

Xét tam giác \( ABK \) và \( AM \) là đường trung tuyến. \( L \) là giao điểm của \( AM \) và \( BK \).

Do \( I \) là trung điểm của \( NK \), ta có:
\[ NI = IK \]

Vì \( I \) nằm trên đường trung tuyến \( AM \), nên:
\[ AI = IM \]

Do đó, ta có:
\[ \frac{NI}{IK} = 1 \]

Vì \( L \) là giao điểm của \( AM \) và \( BK \), nên:
\[ \frac{LI}{LM} = \frac{NI}{CM} \]

**c) Chứng minh rằng \( C, L, N \) thẳng hàng**

Xét tam giác \( ABC \) với \( AM \) là đường trung tuyến và \( L \) là giao điểm của \( AM \) và \( BK \).

Do \( I \) là trung điểm của \( NK \) và \( AI = IM \), ta có:
\[ \frac{NI}{IK} = 1 \]

Vì \( L \) là giao điểm của \( AM \) và \( BK \), nên \( L \) nằm trên đường thẳng \( CN \).

Do đó, \( C, L, N \) thẳng hàng.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.