Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF

Để chứng minh rằng \(\angle BAN = \angle CAM\) trong tam giác nhọn \(ABC\) với các đường cao \(AD\), \(BE\), \(CF\) và \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(EF\), ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học cơ bản.

1. **Tính chất trung điểm và đường trung bình:**
- \(M\) là trung điểm của \(BC\), do đó \(AM\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\).
- \(N\) là trung điểm của \(EF\), do đó \(AN\) là đường trung tuyến của tam giác \(AEF\).

2. **Tính chất của đường cao và trực tâm:**
- \(AD\), \(BE\), \(CF\) là các đường cao của tam giác \(ABC\), do đó chúng cắt nhau tại trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\).

3. **Tính chất đối xứng:**
- Do \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(AM\) chia tam giác \(ABC\) thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.
- Tương tự, \(N\) là trung điểm của \(EF\), \(AN\) chia tam giác \(AEF\) thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.

4. **Tính chất đồng dạng:**
- Xét tam giác \(ABE\) và \(ACF\):
- \(BE\) và \(CF\) là các đường cao từ \(B\) và \(C\) tương ứng.
- \(E\) và \(F\) là chân các đường cao từ \(B\) và \(C\) tương ứng.
- Do đó, tam giác \(ABE\) và tam giác \(ACF\) đồng dạng với nhau theo góc-góc (AA).

5. **Sử dụng tính chất đường trung tuyến:**
- Trong tam giác \(ABE\), \(AN\) là đường trung tuyến.
- Trong tam giác \(ACF\), \(AN\) cũng là đường trung tuyến.

6. **Sử dụng tính chất góc:**
- Vì \(AM\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\), nên \(\angle BAM = \angle CAM\).
- Tương tự, vì \(AN\) là đường trung tuyến của tam giác \(AEF\), nên \(\angle BAN = \angle CAN\).

Do đó, từ các tính chất trên, ta có:
\[
\angle BAN = \angle CAM
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \(\angle BAN = \angle CAM\).