Để chứng minh rằng \( AK = IC \), ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và các hình chiếu vuông góc.

1. **Tính chất của hình bình hành:**
- Trong hình bình hành \(ABCD\), các cạnh đối song song và bằng nhau: \(AB = CD\) và \(AD = BC\).
- Các đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường: \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).

2. **Hình chiếu vuông góc:**
- Gọi \(I\) là hình chiếu của \(B\) lên \(AC\), tức là \(BI \perp AC\).
- Gọi \(K\) là hình chiếu của \(D\) lên \(AC\), tức là \(DK \perp AC\).

3. **Chứng minh \(AK = IC\):**
- Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(CDB\):
- Vì \(AB = CD\) và \(AD = BC\), nên hai tam giác này là hai tam giác bằng nhau (theo cạnh-cạnh-cạnh).
- Do đó, các góc tương ứng của hai tam giác này cũng bằng nhau.

- Xét tam giác \(ABI\) và tam giác \(CDK\):
- Vì \(BI \perp AC\) và \(DK \perp AC\), nên \(BI\) và \(DK\) là các đường cao của hai tam giác này.
- Do đó, \(BI\) và \(DK\) là các đoạn thẳng vuông góc với \(AC\) tại \(I\) và \(K\) tương ứng.

- Vì \(O\) là trung điểm của \(AC\), nên \(AO = OC\).
- Trong tam giác \(ABI\) và tam giác \(CDK\), ta có:
- \(AB = CD\)
- \(BI = DK\) (do \(BI\) và \(DK\) là các đoạn thẳng vuông góc từ các đỉnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau)
- Góc \(ABI =\) Góc \(CDK\) (do hai tam giác bằng nhau)

- Do đó, tam giác \(ABI\) và tam giác \(CDK\) là hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (cạnh-góc vuông-cạnh).

- Từ đó, ta có:
- \(AI = CK\)
- \(BI = DK\)

- Vì \(I\) và \(K\) là các hình chiếu vuông góc của \(B\) và \(D\) lên \(AC\), nên:
- \(AI = CK\)
- \(AK = IC\)

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \(AK = IC\).