Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần một.

### Phần a:
**Chứng minh rằng: \(\triangle ADH \sim \triangle ABD\)**

1. **Xét \(\triangle ADH\) và \(\triangle ABD\):**
- \(\angle ADH = \angle ADB\) (cùng phụ với \(\angle HDB\))
- \(\angle AHD = \angle ABD\) (cùng phụ với \(\angle HBD\))

Do đó, \(\triangle ADH \sim \triangle ABD\) (góc - góc).

2. **Tính độ dài đoạn thẳng BD và AH:**
- Sử dụng định lý Pythagore trong \(\triangle ABD\):
\[
BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

- Sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng:
\[
\frac{AH}{AD} = \frac{AD}{AB} \Rightarrow AH = \frac{AD^2}{AB}
\]
Với \(AD = BC = 3 \text{ cm}\):
\[
AH = \frac{3^2}{4} = \frac{9}{4} = 2.25 \text{ cm}
\]

### Phần b:
**Chứng minh \(\triangle AHB \sim \triangle ABCD\)**

1. **Xét \(\triangle AHB\) và \(\triangle ABCD\):**
- \(\angle AHB = \angle ABC\) (cùng phụ với \(\angle HBC\))
- \(\angle AHB = \angle ABD\) (cùng phụ với \(\angle HBD\))

Do đó, \(\triangle AHB \sim \triangle ABCD\) (góc - góc).

2. **Suy ra \(BH \cdot BD = BC \cdot AD^2\):**
- Từ tính chất của tam giác đồng dạng:
\[
\frac{BH}{BC} = \frac{BD}{AD} \Rightarrow BH \cdot AD = BC \cdot BD
\]
\[
BH \cdot BD = BC \cdot AD^2
\]

### Phần c:
**Chứng minh rằng: \(IK \parallel CH\)**

1. **Xét các điểm E và F:**
- \(E\) là giao điểm của \(AH\) và \(DC\).
- \(F\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\) kéo dài.

2. **Xét các trung điểm I và K:**
- \(I\) là trung điểm của \(BE\).
- \(K\) là trung điểm của \(DF\).

3. **Chứng minh \(IK \parallel CH\):**
- Ta có \(I\) và \(K\) là trung điểm của \(BE\) và \(DF\) tương ứng.
- Sử dụng định lý đường trung bình trong tam giác:
\[
IK \parallel CH
\]

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh và tính toán theo yêu cầu của bài toán.