Để giải bài toán này, ta cần xác định số sản phẩm mà tổ sản xuất phải làm mỗi ngày theo kế hoạch ban đầu. Gọi \( x \) là số sản phẩm mà tổ sản xuất phải làm mỗi ngày theo kế hoạch và \( n \) là số ngày theo kế hoạch.

Theo kế hoạch, tổng số sản phẩm cần làm là 600 sản phẩm, do đó ta có phương trình:
\[ x \cdot n = 600 \]

Thực tế, mỗi ngày tổ làm thêm được 10 sản phẩm, tức là mỗi ngày tổ làm \( x + 10 \) sản phẩm. Tổ hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày và làm thêm được 50 sản phẩm, do đó tổng số sản phẩm thực tế là:
\[ 600 + 50 = 650 \]

Thời gian thực tế để hoàn thành công việc là \( n - 2 \) ngày, do đó ta có phương trình:
\[ (x + 10) \cdot (n - 2) = 650 \]

Bây giờ ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
x \cdot n = 600 \\
(x + 10) \cdot (n - 2) = 650
\end{cases} \]

Giải hệ phương trình này, ta bắt đầu từ phương trình thứ nhất:
\[ n = \frac{600}{x} \]

Thay \( n \) vào phương trình thứ hai:
\[ (x + 10) \cdot \left(\frac{600}{x} - 2\right) = 650 \]

Giải phương trình trên:
\[ (x + 10) \cdot \left(\frac{600 - 2x}{x}\right) = 650 \]
\[ (x + 10) \cdot (600 - 2x) = 650x \]
\[ 600x + 6000 - 2x^2 - 20x = 650x \]
\[ 6000 - 2x^2 - 70x = 0 \]
\[ 2x^2 + 70x - 6000 = 0 \]

Chia cả hai vế cho 2:
\[ x^2 + 35x - 3000 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
với \( a = 1 \), \( b = 35 \), và \( c = -3000 \):
\[ x = \frac{-35 \pm \sqrt{35^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000)}}{2 \cdot 1} \]
\[ x = \frac{-35 \pm \sqrt{1225 + 12000}}{2} \]
\[ x = \frac{-35 \pm \sqrt{13225}}{2} \]
\[ x = \frac{-35 \pm 115}{2} \]

Ta có hai nghiệm:
\[ x = \frac{80}{2} = 40 \]
\[ x = \frac{-150}{2} = -75 \]

Vì \( x \) là số sản phẩm nên \( x \) phải là số dương. Do đó, nghiệm hợp lý là:
\[ x = 40 \]

Vậy số sản phẩm mà tổ sản xuất phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là 40 sản phẩm.