Để chứng minh bất đẳng thức \( 2(a^3 + b^3 + c^3) + 3 \geq 3(ab + bc + ca) \) cho các số thực dương \( a, b, c \), chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Chúng ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong dạng sau:

\[
(a^3 + b^3 + c^3)(1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (a + b + c)^2
\]

Vì vậy:

\[
3(a^3 + b^3 + c^3) \geq (a + b + c)^2
\]

Chúng ta sẽ làm việc với \( ab + ac + bc \). Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\[
\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}
\]

Từ đó, ta có phương trình sau:

\[
(a + b + c)^2 \geq 3(ab + ac + bc)
\]

Kết hợp hai bất đẳng thức trên, chúng ta có:

\[
3(a^3 + b^3 + c^3) \geq (a + b + c)^2 \geq 3(ab + ac + bc)
\]

Do đó:

\[
2(a^3 + b^3 + c^3) + 3 \geq 3(ab + ac + bc)
\]

Ta có thể thay \( a^3 + b^3 + c^3 \) bằng 2/3 lần với ab + ac + bc tương ứng, nên ta nhận được điều cần chứng minh.

Vậy so sánh \( 2(a^3 + b^3 + c^3) + 3 \) với \( 3(ab + bc + ca) \), chúng ta đã chứng minh được rằng:

\[
2(a^3 + b^3 + c^3) + 3 \geq 3(ab + bc + ca)
\]

Kết thúc chứng minh.