Để tìm \( n \in \mathbb{Z} \) sao cho các biểu thức \( A \), \( B \), và \( C \) có giá trị nguyên, ta sẽ xét từng biểu thức một.

1. **Biểu thức \( A \)**:
\[
A = \frac{15}{n+2}
\]
Để \( A \) là số nguyên, \( n+2 \) phải là ước của 15. Các ước của 15 là \( \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15 \). Từ đó, ta có:
\[
n + 2 = 1 \implies n = -1 \\
n + 2 = -1 \implies n = -3 \\
n + 2 = 3 \implies n = 1 \\
n + 2 = -3 \implies n = -5 \\
n + 2 = 5 \implies n = 3 \\
n + 2 = -5 \implies n = -7 \\
n + 2 = 15 \implies n = 13 \\
n + 2 = -15 \implies n = -17
\]
Các giá trị cần tìm cho \( n \) từ biểu thức \( A \) là: \( n = -1, -3, 1, -5, 3, -7, 13, -17 \).

2. **Biểu thức \( B \)**:
\[
B = \frac{n+4}{n-2}
\]
Để \( B \) là số nguyên, \( n-2 \) phải chia hết cho \( n+4 \). Ta có:
\[
n - 2 \mid n + 4 \iff n - 2 \mid (n + 4) - (n - 2) = 6
\]
Các ước của 6 là \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \). Giải cho \( n - 2 \):
\[
n - 2 = 1 \implies n = 3 \\
n - 2 = -1 \implies n = 1 \\
n - 2 = 2 \implies n = 4 \\
n - 2 = -2 \implies n = 0 \\
n - 2 = 3 \implies n = 5 \\
n - 2 = -3 \implies n = -1 \\
n - 2 = 6 \implies n = 8 \\
n - 2 = -6 \implies n = -4
\]
Các giá trị cần tìm cho \( n \) từ biểu thức \( B \) là: \( n = 3, 1, 4, 0, 5, -1, 8, -4 \).

3. **Biểu thức \( C \)**:
\[
C = \frac{2n+4}{n+1}
\]
Để \( C \) là số nguyên, \( n+1 \) phải chia hết cho \( 2n+4 \). Ta có:
\[
n + 1 \mid 2n + 4 \iff n + 1 \mid (2n + 4) - 2(n + 1) = 2
\]
Các ước của 2 là \( \pm 1, \pm 2 \). Giải cho \( n + 1 \):
\[
n + 1 = 1 \implies n = 0 \\
n + 1 = -1 \implies n = -2 \\
n + 1 = 2 \implies n = 1 \\
n + 1 = -2 \implies n = -3
\]
Các giá trị cần tìm cho \( n \) từ biểu thức \( C \) là: \( n = 0, -2, 1, -3 \).

### Kết luận:
Tập hợp các giá trị của \( n \) để các biểu thức \( A \), \( B \) và \( C \) đều có giá trị nguyên là:
- Từ biểu thức \( A \): \( n = -1, -3, 1, -5, 3, -7, 13, -17 \)
- Từ biểu thức \( B \): \( n = 3, 1, 4, 0, 5, -1, 8, -4 \)
- Từ biểu thức \( C \): \( n = 0, -2, 1, -3 \)

Giá trị chung cho các biểu thức là:
\[
n = -1, -3, 1
\]