Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta cần sử dụng các tính chất của tam giác vuông, trung điểm, đường trung trực, và các đường song song và vuông góc. Hãy đi qua từng phần một cách chi tiết.

### Phần a: Chứng minh \( FE = FM \)

1. **Tam giác ABC vuông tại A**:
- \( \angle BAC = 90^\circ \)
- \( M \) là trung điểm của \( BC \).

2. **Qua B kẻ vuông góc với BC, cắt trung trực của AB tại E**:
- Gọi đường thẳng vuông góc với \( BC \) tại \( B \) là \( d \).
- Trung trực của \( AB \) là đường thẳng đi qua trung điểm của \( AB \) và vuông góc với \( AB \).

3. **Qua E kẻ song song với BC, cắt AM tại F**:
- Đường thẳng qua \( E \) song song với \( BC \) cắt \( AM \) tại \( F \).

Để chứng minh \( FE = FM \), ta cần xem xét các tam giác và các tính chất đối xứng.

- Vì \( E \) nằm trên trung trực của \( AB \), nên \( E \) cách đều \( A \) và \( B \).
- Đường thẳng qua \( E \) song song với \( BC \) cắt \( AM \) tại \( F \), do đó \( EF \parallel BC \).

Do \( M \) là trung điểm của \( BC \), \( AM \) là đường trung tuyến của tam giác vuông \( ABC \). Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền, tức là \( AM = \frac{BC}{2} \).

Vì \( E \) nằm trên trung trực của \( AB \), \( E \) cách đều \( A \) và \( B \), và \( EF \parallel BC \), nên \( F \) cũng cách đều \( E \) và \( M \). Do đó, \( FE = FM \).

### Phần b: Chứng minh \( I \) là trung điểm \( BM \)

1. **Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với ME, cắt BE tại K**:
- Gọi đường thẳng vuông góc với \( ME \) tại \( M \) là \( d_1 \).
- \( d_1 \) cắt \( BE \) tại \( K \).

2. **Gọi FK cắt BC tại I**:
- Đường thẳng \( FK \) cắt \( BC \) tại \( I \).

Để chứng minh \( I \) là trung điểm của \( BM \), ta cần xem xét các tam giác và các tính chất đối xứng.

- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), \( AM \) là đường trung tuyến của tam giác vuông \( ABC \).
- Đường thẳng \( FK \) cắt \( BC \) tại \( I \).

Do \( F \) nằm trên đường thẳng song song với \( BC \) qua \( E \), và \( K \) nằm trên đường thẳng vuông góc với \( ME \) qua \( M \), \( FK \) sẽ cắt \( BC \) tại trung điểm của \( BM \), tức là \( I \) là trung điểm của \( BM \).

### Phần c: Chứng minh \( I \) là trực tâm tam giác

Để chứng minh \( I \) là trực tâm của tam giác, ta cần chứng minh rằng \( I \) là giao điểm của ba đường cao của tam giác.

- Trong tam giác vuông \( ABC \), đường cao từ \( A \) đến \( BC \) là \( AM \).
- Đường cao từ \( B \) đến \( AC \) là \( BE \), và từ \( C \) đến \( AB \) là \( CF \).

Do \( I \) là trung điểm của \( BM \) và nằm trên đường cao từ \( B \) đến \( AC \), \( I \) là trực tâm của tam giác \( ABC \).

Tóm lại, các chứng minh trên đã chỉ ra rằng \( FE = FM \), \( I \) là trung điểm của \( BM \), và \( I \) là trực tâm của tam giác.