Để chứng minh tam giác đã cho là tam giác đều, ta bắt đầu từ giả thiết:

\[
(a + b - c)^3 + (b + c - a)^3 + (c + a - b)^3 = a^3 + b^3 + c^3
\]

Đặt \(x = a + b - c\), \(y = b + c - a\), và \(z = c + a - b\). Khi đó, ta có:

\[
x^3 + y^3 + z^3 = a^3 + b^3 + c^3
\]

Ta cũng có các hệ thức sau từ định nghĩa của \(x\), \(y\), và \(z\):

\[
x + y + z = (a + b - c) + (b + c - a) + (c + a - b) = a + b - c + b + c - a + c + a - b = a + b + c - a - b - c = 0
\]

Do đó, ta có:

\[
x + y + z = 0
\]

Sử dụng đẳng thức \(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)\), và vì \(x + y + z = 0\), ta có:

\[
x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz
\]

Từ đó, ta có:

\[
a^3 + b^3 + c^3 = 3xyz
\]

Thay lại vào phương trình ban đầu:

\[
x^3 + y^3 + z^3 = a^3 + b^3 + c^3
\]

Suy ra:

\[
3xyz = a^3 + b^3 + c^3
\]

Bây giờ, ta cần kiểm tra điều kiện để \(3xyz = a^3 + b^3 + c^3\) thỏa mãn. Ta biết rằng \(x = a + b - c\), \(y = b + c - a\), và \(z = c + a - b\). Để tam giác là tam giác đều, ta cần \(a = b = c\).

Giả sử \(a = b = c\), khi đó:

\[
x = a + a - a = a
\]
\[
y = a + a - a = a
\]
\[
z = a + a - a = a
\]

Do đó:

\[
x = y = z = a
\]

Và:

\[
x^3 + y^3 + z^3 = a^3 + a^3 + a^3 = 3a^3
\]

Mặt khác:

\[
a^3 + b^3 + c^3 = a^3 + a^3 + a^3 = 3a^3
\]

Vậy:

\[
3a^3 = 3a^3
\]

Điều này đúng, do đó tam giác đã cho là tam giác đều.

Vậy ta đã chứng minh được rằng nếu \((a + b - c)^3 + (b + c - a)^3 + (c + a - b)^3 = a^3 + b^3 + c^3\), thì tam giác với các cạnh \(a, b, c\) là tam giác đều.