Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần a, b, c và d.

**Phần a: Chứng minh rằng ΔABC đồng dạng với ΔHBA**

Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên:
- \(\angle BAC = 90^\circ\)

Xét tam giác HBA:
- \(\angle HBA = \angle BAC = 90^\circ\) (vì H là chân đường cao từ A xuống BC)

Do đó, \(\angle HBA = \angle BAC\).

Xét tam giác ABC và tam giác HBA:
- \(\angle BAC = \angle HBA\)
- \(\angle ABC\) là góc chung.

Vậy, theo trường hợp góc-góc (AA), ta có:
\[
\Delta ABC \sim \Delta HBA
\]

**Phần b: Cho HB = 4 cm, HC = 9 cm. Tính AB, DE.**

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên:
\[
BC = HB + HC = 4 + 9 = 13 \text{ cm}
\]

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

Gọi AB = x và AC = y. Ta có:
\[
x^2 + y^2 = 13^2 = 169
\]

Vì H là chân đường cao từ A, ta có:
\[
AH^2 = HB \cdot HC = 4 \cdot 9 = 36
\]
\[
AH = \sqrt{36} = 6 \text{ cm}
\]

Để tính DE, ta cần biết AD và AE. Vì D và E là hình chiếu của H trên AB và AC, nên:
\[
AD = AE = AH = 6 \text{ cm}
\]

**Phần c: Chứng minh: \(AD \cdot AB = AE \cdot AC\) và AM vuông góc DE.**

Ta có:
\[
AD = AE = AH
\]

Do đó:
\[
AD \cdot AB = AH \cdot AB
\]
\[
AE \cdot AC = AH \cdot AC
\]

Vì \(AH\) là chung, nên:
\[
AD \cdot AB = AE \cdot AC
\]

Để chứng minh AM vuông góc DE, ta cần chứng minh rằng AM là trung tuyến của tam giác vuông ADE. Vì D và E là hình chiếu của H trên AB và AC, nên DE là đường trung bình của tam giác vuông ADE, và AM là trung tuyến của tam giác vuông ADE, do đó AM vuông góc với DE.

**Phần d: Tam giác ABC phải có điều kiện gì để diện tích tam giác ADE bằng 1/3 diện tích tứ giác BDEC.**

Diện tích tam giác ADE là:
\[
S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 \text{ cm}^2
\]

Diện tích tam giác ABC là:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y
\]

Diện tích tứ giác BDEC là:
\[
S_{BDEC} = S_{ABC} - S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y - 18
\]

Để diện tích tam giác ADE bằng 1/3 diện tích tứ giác BDEC, ta có:
\[
S_{ADE} = \frac{1}{3} S_{BDEC}
\]
\[
18 = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \cdot x \cdot y - 18 \right)
\]

Giải phương trình này để tìm điều kiện của tam giác ABC:
\[
54 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y - 18
\]
\[
54 + 18 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y
\]
\[
72 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y
\]
\[
x \cdot y = 144
\]

Vậy, điều kiện để diện tích tam giác ADE bằng 1/3 diện tích tứ giác BDEC là:
\[
AB \cdot AC = 144 \text{ cm}^2
\]