Để chứng minh các phần của bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình thang cân và các tam giác đồng dạng. Dưới đây là các bước chi tiết:

**a) Chứng minh tam giác OAB cân tại O:**

- Vì ABCD là hình thang cân nên AD = BC.
- Gọi O là giao điểm của AD và BC.
- Xét tam giác OAD và tam giác OBC:
- AD = BC (do tính chất hình thang cân).
- Góc OAD = Góc OBC (đối đỉnh).
- Góc ODA = Góc OCB (do AB // CD và AD cắt AB, CD).

=> Tam giác OAD đồng dạng với tam giác OBC theo trường hợp góc-góc-góc (AAA).

- Do đó, OA = OB (vì AD = BC và tam giác đồng dạng).

=> Tam giác OAB cân tại O.

**b) Chứng minh tam giác ABD = tam giác BAC:**

- Xét tam giác ABD và tam giác BAC:
- AB là cạnh chung.
- Góc ABD = Góc BAC (do AB // CD và BD cắt AB, CD).
- Góc ADB = Góc ACB (do AB // CD và AD cắt AB, CD).

=> Tam giác ABD đồng dạng với tam giác BAC theo trường hợp góc-góc-góc (AAA).

- Do đó, tam giác ABD = tam giác BAC (đồng dạng và có cạnh chung AB).

**c) Chứng minh EC = ED:**

- Gọi E là giao điểm của AC và BD.
- Xét tam giác ABD và tam giác BAC (đã chứng minh đồng dạng ở phần b):
- Do tam giác ABD và tam giác BAC đồng dạng, nên tỉ lệ các cạnh tương ứng bằng nhau.

- Xét tam giác ABE và tam giác CDE:
- Góc ABE = Góc CDE (do AB // CD và BD cắt AB, CD).
- Góc BAE = Góc DCE (do AB // CD và AC cắt AB, CD).

=> Tam giác ABE đồng dạng với tam giác CDE theo trường hợp góc-góc-góc (AAA).

- Do đó, AE/CE = BE/DE.

- Vì tam giác ABE và tam giác CDE đồng dạng và AB = CD (do tính chất hình thang cân), nên AE = DE.

=> EC = ED.

**d) Chứng minh O, E là trung điểm của DC thẳng hàng:**

- Đã chứng minh O là trung điểm của AD và BC (do tam giác OAD và tam giác OBC đồng dạng và AD = BC).
- Đã chứng minh E là trung điểm của AC và BD (do tam giác ABE và tam giác CDE đồng dạng và AE = DE).

- Do đó, O và E là trung điểm của các đoạn thẳng tương ứng trong hình thang cân ABCD.

- Vì O và E là trung điểm của các đoạn thẳng tương ứng, nên chúng thẳng hàng với trung điểm của DC.

=> O, E là trung điểm của DC thẳng hàng.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.