Giả sử tồn tại 16 số hữu tỉ phân biệt \( a_1, a_2, \ldots, a_{16} \) thỏa mãn điều kiện: tổng của 12 số bất kỳ trong các số đó là số dương và tổng của 8 số bất kỳ trong các số đó là số âm.

Trước tiên, ta xét tổng của tất cả 16 số:
\[ S = a_1 + a_2 + \cdots + a_{16}. \]

Xét tổng của 12 số bất kỳ trong các số đó. Giả sử chọn 12 số \( a_{i_1}, a_{i_2}, \ldots, a_{i_{12}} \), ta có:
\[ a_{i_1} + a_{i_2} + \cdots + a_{i_{12}} > 0. \]

Vì điều này đúng cho bất kỳ 12 số nào, ta có thể chọn 12 số khác nhau và tổng của chúng vẫn phải dương. Điều này áp dụng cho tất cả các tổ hợp 12 số trong 16 số, nghĩa là tổng của bất kỳ 12 số nào trong 16 số đều dương.

Tiếp theo, xét tổng của 8 số bất kỳ trong các số đó. Giả sử chọn 8 số \( a_{j_1}, a_{j_2}, \ldots, a_{j_8} \), ta có:
\[ a_{j_1} + a_{j_2} + \cdots + a_{j_8} < 0. \]

Vì điều này đúng cho bất kỳ 8 số nào, ta có thể chọn 8 số khác nhau và tổng của chúng vẫn phải âm. Điều này áp dụng cho tất cả các tổ hợp 8 số trong 16 số, nghĩa là tổng của bất kỳ 8 số nào trong 16 số đều âm.

Bây giờ, xét tổng của tất cả 16 số:
\[ S = a_1 + a_2 + \cdots + a_{16}. \]

Chọn 12 số bất kỳ trong 16 số, tổng của chúng là dương. Do đó, tổng của 4 số còn lại phải âm để tổng của tất cả 16 số không quá lớn. Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với điều kiện tổng của bất kỳ 8 số nào cũng phải âm, vì nếu tổng của 4 số là âm thì tổng của 8 số bất kỳ bao gồm 4 số này và 4 số khác sẽ không thể âm.

Do đó, không thể tồn tại 16 số hữu tỉ phân biệt thỏa mãn cả hai điều kiện trên.