Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra xem có tồn tại 16 số hữu tỉ phân biệt sao cho tổng của 12 số bất kỳ trong số đó là số dương và tổng của 8 số bất kỳ trong số đó là số âm hay không.

Giả sử các số hữu tỉ đó là \( a_1, a_2, \ldots, a_{16} \).

1. **Tổng của 12 số bất kỳ là số dương:**

Điều này có nghĩa là nếu ta chọn bất kỳ 12 số nào từ 16 số này, tổng của chúng phải lớn hơn 0.

2. **Tổng của 8 số bất kỳ là số âm:**

Điều này có nghĩa là nếu ta chọn bất kỳ 8 số nào từ 16 số này, tổng của chúng phải nhỏ hơn 0.

Bây giờ, hãy xem xét tổng của tất cả 16 số:

\[ S = a_1 + a_2 + \cdots + a_{16} \]

Nếu ta chọn 12 số bất kỳ từ 16 số này, tổng của chúng là dương. Giả sử ta chọn 12 số đầu tiên:

\[ a_1 + a_2 + \cdots + a_{12} > 0 \]

Nếu ta chọn 8 số bất kỳ từ 16 số này, tổng của chúng là âm. Giả sử ta chọn 8 số đầu tiên:

\[ a_1 + a_2 + \cdots + a_8 < 0 \]

Bây giờ, hãy xem xét tổng của tất cả 16 số. Ta có thể viết tổng của 16 số này dưới dạng tổng của hai nhóm 8 số:

\[ S = (a_1 + a_2 + \cdots + a_8) + (a_9 + a_{10} + \cdots + a_{16}) \]

Theo điều kiện, tổng của bất kỳ 8 số nào cũng phải nhỏ hơn 0, do đó:

\[ a_1 + a_2 + \cdots + a_8 < 0 \]
\[ a_9 + a_{10} + \cdots + a_{16} < 0 \]

Như vậy, tổng của tất cả 16 số phải nhỏ hơn 0:

\[ S = (a_1 + a_2 + \cdots + a_8) + (a_9 + a_{10} + \cdots + a_{16}) < 0 \]

Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với điều kiện rằng tổng của bất kỳ 12 số nào cũng phải lớn hơn 0. Nếu tổng của tất cả 16 số là âm, thì không thể có tổng của 12 số nào trong số đó là dương.

Do đó, không tồn tại 16 số hữu tỉ phân biệt thỏa mãn cả hai điều kiện trên.