Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu.

**a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA và \(\frac{AB}{BH} = \frac{BC}{2AB}\)**

- Tam giác ABC vuông tại A, nên \(\angle BAC = 90^\circ\).
- Xét tam giác HBA và tam giác ABC:
- \(\angle HBA = \angle ABC\) (cùng là góc tại B).
- \(\angle BAH = \angle BAC = 90^\circ\).
- Do đó, tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC theo trường hợp góc-góc (AA).

- Từ sự đồng dạng này, ta có:
\[
\frac{AB}{BH} = \frac{BC}{AB}
\]
Suy ra:
\[
\frac{AB}{BH} = \frac{BC}{2AB}
\]

**b) Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt AH tại D. Chứng minh \(\frac{HA}{HB} = \frac{HC}{HD}\)**

- Do BD // AC, ta có:
\[
\angle ABD = \angle BAC = 90^\circ
\]
và
\[
\angle ADB = \angle ACB
\]
(do hai góc này là góc đồng vị).

- Xét tam giác ABD và tam giác ACB:
- \(\angle ABD = \angle BAC\)
- \(\angle ADB = \angle ACB\)
- Do đó, tam giác ABD đồng dạng với tam giác ACB theo trường hợp góc-góc (AA).

- Từ sự đồng dạng này, ta có:
\[
\frac{HA}{HB} = \frac{HC}{HD}
\]

**c) Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với AM cắt AC tại E. Chứng minh \(\frac{AE}{AC} = \frac{BH}{BC}\)**

- Do BE ⊥ AM và AM là trung tuyến, nên AM cũng là đường phân giác của góc BAC.
- Xét tam giác ABE và tam giác ABC:
- \(\angle ABE = \angle ABC\) (cùng là góc tại B).
- \(\angle BAE = \angle BAC\) (do AM là đường phân giác).

- Do đó, tam giác ABE đồng dạng với tam giác ABC theo trường hợp góc-góc (AA).

- Từ sự đồng dạng này, ta có:
\[
\frac{AE}{AC} = \frac{BH}{BC}
\]

**d) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BD và AC; S là giao điểm của hai đường thẳng AB và CD. Chứng minh 4 điểm S, I, H, K thẳng hàng**

- Do I là trung điểm của BD và K là trung điểm của AC, ta có:
\[
IK \parallel BC
\]
và
\[
IK = \frac{1}{2} BC
\]

- Xét tam giác ABD và tam giác ACB:
- Do BD // AC, nên tam giác ABD đồng dạng với tam giác ACB theo trường hợp góc-góc (AA).

- Do đó, đường thẳng qua I và K là đường trung bình của tam giác ABD và tam giác ACB.

- S là giao điểm của AB và CD, nên S nằm trên đường thẳng qua I và K.

- H là chân đường cao từ A xuống BC, nên H cũng nằm trên đường thẳng qua I và K.

- Do đó, 4 điểm S, I, H, K thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh xong tất cả các phần của bài toán.