Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Kẻ \(BD\) vuông góc với \(AC\) và kẻ \(CE\) vuông góc với \(AB\). \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(I\). Chứng minh:

a) \(\triangle ABD = \triangle ACE\)

b) \(\angle BAI = \angle CAI\)

c) \(AI\) là đường trung trực của \(BC\)

**Giải:**

a) Chứng minh \(\triangle ABD = \triangle ACE\):

- Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\).
- Góc \(\angle ABD = \angle ACE = 90^\circ\) (do \(BD \perp AC\) và \(CE \perp AB\)).
- Cạnh \(AD\) chung cho cả hai tam giác \(\triangle ABD\) và \(\triangle ACE\).

Vậy theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có:
\[
\triangle ABD = \triangle ACE
\]

b) Chứng minh \(\angle BAI = \angle CAI\):

- Từ phần a, ta đã chứng minh \(\triangle ABD = \triangle ACE\), do đó \(\angle BAD = \angle CAD\).
- \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\), nên \(I\) nằm trên đường cao của tam giác cân \(ABC\) tại \(A\).

Do đó, \(AI\) là đường phân giác của \(\angle BAC\), nên:
\[
\angle BAI = \angle CAI
\]

c) Chứng minh \(AI\) là đường trung trực của \(BC\):

- Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), nên \(AB = AC\).
- \(BD \perp AC\) và \(CE \perp AB\), do đó \(BD\) và \(CE\) là các đường cao của tam giác cân \(ABC\).
- Giao điểm của các đường cao trong tam giác cân tại đỉnh là trung điểm của đáy, do đó \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Vì \(I\) là trung điểm của \(BC\) và \(AI\) là đường cao của tam giác cân \(ABC\), nên \(AI\) cũng là đường trung trực của \(BC\).

Vậy, ta đã chứng minh được:
\[
AI \text{ là đường trung trực của } BC.
\]