Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác cân và các đường vuông góc.

**a) Chứng minh tam giác ADE cân:**

- Tam giác ABC cân tại A, nên AB = AC.
- BD vuông góc với AC tại D, CE vuông góc với AB tại E.
- Xét tam giác ADE:
+ AD là đường cao từ đỉnh A của tam giác cân ABC, nên AD cũng là đường phân giác và trung tuyến của tam giác ABC.
+ Do đó, AD = AE (vì AB = AC).
- Vậy tam giác ADE cân tại A.

**b) Chứng minh DE song song với BC:**

- Xét tam giác ABC cân tại A, với AB = AC.
- BD vuông góc với AC tại D, CE vuông góc với AB tại E.
- Ta có: ∠ADE = ∠ADB (vì BD vuông góc với AC) và ∠AED = ∠AEC (vì CE vuông góc với AB).
- Do đó, ∠ADE = ∠AEC.
- Vì ∠ADE và ∠AEC là hai góc so le trong của hai đường thẳng DE và BC cắt nhau bởi đường thẳng AD, nên DE // BC.

**c) Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh IB = IC:**

- Xét tam giác ABD và tam giác ACD:
+ AB = AC (tam giác ABC cân tại A).
+ AD là đường cao từ đỉnh A của tam giác cân ABC, nên AD cũng là đường phân giác và trung tuyến của tam giác ABC.
+ Do đó, BD = CE.
- Xét tam giác BDI và tam giác CEI:
+ BD = CE (đã chứng minh ở trên).
+ ∠BDI = ∠CEI (vì BD và CE đều vuông góc với AC và AB tương ứng).
+ DI = EI (vì I là giao điểm của BD và CE).
- Do đó, tam giác BDI và tam giác CEI bằng nhau (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh).
- Vậy IB = IC.

**d) Chứng minh AI vuông góc với BC:**

- Xét tam giác ABD và tam giác ACD:
+ AB = AC (tam giác ABC cân tại A).
+ AD là đường cao từ đỉnh A của tam giác cân ABC, nên AD cũng là đường phân giác và trung tuyến của tam giác ABC.
+ Do đó, BD = CE.
- Xét tam giác BDI và tam giác CEI:
+ BD = CE (đã chứng minh ở trên).
+ ∠BDI = ∠CEI (vì BD và CE đều vuông góc với AC và AB tương ứng).
+ DI = EI (vì I là giao điểm của BD và CE).
- Do đó, tam giác BDI và tam giác CEI bằng nhau (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh).
- Vậy IB = IC.
- Vì IB = IC, I là trung điểm của BC.
- Do đó, AI vuông góc với BC (vì AI là đường trung tuyến của tam giác cân ABC tại A).

Vậy ta đã chứng minh được tất cả các yêu cầu của bài toán.