Cho tam giác ABC nhọn ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. MN và Mp lần lượt cắt EF tại U và V

Để chứng minh rằng \( U \) và \( V \) thuộc \( BI \) và \( CI \) tương ứng, ta sẽ sử dụng một số tính chất của đường tròn nội tiếp và các đường trung bình của tam giác.

1. **Nhắc lại các tính chất cơ bản:**
- \( D, E, F \) lần lượt là các điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp \( (I) \) với các cạnh \( BC, CA, AB \).
- \( M, N, P \) lần lượt là trung điểm của các cạnh \( BC, CA, AB \).
- \( MN \) và \( MP \) lần lượt cắt \( EF \) tại \( U \) và \( V \).

2. **Sử dụng tính chất của đường trung bình:**
- \( M, N, P \) là trung điểm của các cạnh của tam giác \( ABC \), do đó \( MN \parallel AB \) và \( MP \parallel AC \).
- \( MN \) và \( MP \) là các đường trung bình của tam giác \( ABC \), vì vậy chúng chia tam giác thành các tam giác nhỏ hơn có diện tích bằng nhau.

3. **Xét tam giác \( AEF \):**
- \( I \) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \), do đó \( I \) cũng là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác \( AEF \).
- \( BI \) và \( CI \) là các đường phân giác của các góc \( \angle BAI \) và \( \angle CAI \) tương ứng.

4. **Chứng minh \( U \) thuộc \( BI \):**
- \( U \) là giao điểm của \( MN \) và \( EF \).
- Do \( MN \parallel AB \), nên \( U \) nằm trên đường phân giác \( BI \) của góc \( \angle BAI \).

5. **Chứng minh \( V \) thuộc \( CI \):**
- \( V \) là giao điểm của \( MP \) và \( EF \).
- Do \( MP \parallel AC \), nên \( V \) nằm trên đường phân giác \( CI \) của góc \( \angle CAI \).

Tóm lại, từ các tính chất của đường trung bình và đường phân giác trong tam giác, ta đã chứng minh được rằng \( U \) thuộc \( BI \) và \( V \) thuộc \( CI \).