Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán này.

**Phần a: Chứng minh tam giác ABC vuông và tính độ dài cạnh AC giả sử nếu biết AB=4cm, BC=6cm**

1. **Chứng minh tam giác ABC vuông:**

- Vì BC là đường kính của đường tròn (O), nên góc BAC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, do đó góc BAC là góc vuông.
- Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

2. **Tính độ dài cạnh AC:**

- Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pythagoras:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]
- Thay số vào:
\[
4^2 + AC^2 = 6^2
\]
\[
16 + AC^2 = 36
\]
\[
AC^2 = 36 - 16
\]
\[
AC^2 = 20
\]
\[
AC = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ cm}
\]

**Phần b: Vẽ OK vuông góc AC tại K, tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt tia OK tại D, gọi T là giao điểm của BD và đường tròn (O). Chứng minh DK.DO = DT.DB và góc DKT = góc DBO**

1. **Chứng minh DK.DO = DT.DB:**

- OK vuông góc với AC tại K, nên K là chân đường cao từ O xuống AC.
- Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt tia OK tại D, do đó DC là tiếp tuyến của đường tròn tại C.
- Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
\[
OC \perp DC
\]
- Gọi T là giao điểm của BD và đường tròn (O). Ta có:
\[
\angle DCO = 90^\circ
\]
- Theo định lý về tiếp tuyến và cát tuyến, ta có:
\[
DK \cdot DO = DC^2
\]
- Do đó:
\[
DK \cdot DO = DT \cdot DB
\]

2. **Chứng minh góc DKT = góc DBO:**

- Xét tam giác DKT và tam giác DBO:
- \(\angle DKT\) và \(\angle DBO\) đều là góc giữa tiếp tuyến và cát tuyến.
- Do đó, hai góc này bằng nhau:
\[
\angle DKT = \angle DBO
\]

**Phần c: Kéo dài AB và KT cắt nhau tại S. Chứng minh OA // CS**

1. **Chứng minh OA // CS:**

- Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:
\[
\angle BAC = 90^\circ
\]
- Kéo dài AB và KT cắt nhau tại S, ta cần chứng minh OA // CS.
- Vì OK vuông góc với AC tại K, nên OK là đường trung trực của AC.
- Do đó, OA vuông góc với AC.
- Tương tự, CS cũng vuông góc với AC.
- Vậy OA // CS.

Như vậy, chúng ta đã giải quyết xong tất cả các phần của bài toán.