Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức \( P = x + y + z \) với điều kiện \( \frac{3x^2}{2} + y^2 + z^2 + yz = 1 \), ta có thể sử dụng phương pháp Lagrange hoặc các phương pháp khác trong giải tích. Tuy nhiên, để đơn giản hóa bài toán, ta có thể thử một số giá trị cụ thể của \( x, y, z \) để tìm ra các giá trị cực trị.

Trước hết, ta viết lại điều kiện dưới dạng:
\[ \frac{3x^2}{2} + y^2 + z^2 + yz = 1 \]

### Bước 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \)

Giả sử \( x = 0 \), ta có:
\[ y^2 + z^2 + yz = 1 \]

Đặt \( t = y + z \) và \( u = yz \), ta có:
\[ y^2 + z^2 + yz = t^2 - 2u + u = t^2 - u = 1 \]
\[ u = t^2 - 1 \]

Vì \( y \) và \( z \) là nghiệm của phương trình bậc hai:
\[ t^2 - 1 = yz \]

Phương trình này có nghiệm thực khi và chỉ khi:
\[ t^2 - 4(t^2 - 1) \geq 0 \]
\[ -3t^2 + 4 \geq 0 \]
\[ t^2 \leq \frac{4}{3} \]
\[ -\frac{2\sqrt{3}}{3} \leq t \leq \frac{2\sqrt{3}}{3} \]

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( P = x + y + z \) khi \( x = 0 \) là:
\[ P = t \]
\[ P_{\text{min}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3} \]

### Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của \( P \)

Tương tự, giá trị lớn nhất của \( P = x + y + z \) khi \( x = 0 \) là:
\[ P = t \]
\[ P_{\text{max}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \]

### Kết luận

Giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \frac{2\sqrt{3}}{3} \) và giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( -\frac{2\sqrt{3}}{3} \).