Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có (2n - 5)^2 + n^2 chia hết cho 5

Để chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \( n \), biểu thức \( (2n - 5)^2 + n^2 \) chia hết cho 5, ta sẽ kiểm tra tính chia hết của biểu thức này theo modulo 5.

Trước hết, ta viết lại biểu thức:
\[
(2n - 5)^2 + n^2
\]

Ta sẽ phân tích biểu thức này theo modulo 5. Đầu tiên, ta xét \( n \) theo modulo 5. Có 5 trường hợp có thể xảy ra cho \( n \) theo modulo 5:
\[
n \equiv 0, 1, 2, 3, 4 \pmod{5}
\]

**Trường hợp 1:** \( n \equiv 0 \pmod{5} \)

Khi đó:
\[
(2n - 5) \equiv (2 \cdot 0 - 5) \equiv -5 \equiv 0 \pmod{5}
\]
\[
(2n - 5)^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{5}
\]
\[
n^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{5}
\]
\[
(2n - 5)^2 + n^2 \equiv 0 + 0 \equiv 0 \pmod{5}
\]

**Trường hợp 2:** \( n \equiv 1 \pmod{5} \)

Khi đó:
\[
(2n - 5) \equiv (2 \cdot 1 - 5) \equiv 2 - 5 \equiv -3 \equiv 2 \pmod{5}
\]
\[
(2n - 5)^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \pmod{5}
\]
\[
n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{5}
\]
\[
(2n - 5)^2 + n^2 \equiv 4 + 1 \equiv 5 \equiv 0 \pmod{5}
\]

**Trường hợp 3:** \( n \equiv 2 \pmod{5} \)

Khi đó:
\[
(2n - 5) \equiv (2 \cdot 2 - 5) \equiv 4 - 5 \equiv -1 \equiv 4 \pmod{5}
\]
\[
(2n - 5)^2 \equiv 4^2 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5}
\]
\[
n^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \pmod{5}
\]
\[
(2n - 5)^2 + n^2 \equiv 1 + 4 \equiv 5 \equiv 0 \pmod{5}
\]

**Trường hợp 4:** \( n \equiv 3 \pmod{5} \)

Khi đó:
\[
(2n - 5) \equiv (2 \cdot 3 - 5) \equiv 6 - 5 \equiv 1 \pmod{5}
\]
\[
(2n - 5)^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{5}
\]
\[
n^2 \equiv 3^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}
\]
\[
(2n - 5)^2 + n^2 \equiv 1 + 4 \equiv 5 \equiv 0 \pmod{5}
\]

**Trường hợp 5:** \( n \equiv 4 \pmod{5} \)

Khi đó:
\[
(2n - 5) \equiv (2 \cdot 4 - 5) \equiv 8 - 5 \equiv 3 \pmod{5}
\]
\[
(2n - 5)^2 \equiv 3^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}
\]
\[
n^2 \equiv 4^2 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5}
\]
\[
(2n - 5)^2 + n^2 \equiv 4 + 1 \equiv 5 \equiv 0 \pmod{5}
\]

Từ tất cả các trường hợp trên, ta thấy rằng với mọi \( n \) thuộc \(\mathbb{N}\), biểu thức \( (2n - 5)^2 + n^2 \) luôn chia hết cho 5.

Do đó, ta đã chứng minh rằng:
\[
(2n - 5)^2 + n^2 \equiv 0 \pmod{5}
\]
cho mọi số tự nhiên \( n \).