Để chứng minh rằng \( x^3 - y^3 = (x - y)[(x - y)^2 + 3xy] \), chúng ta sẽ bắt đầu từ vế trái và biến đổi nó để thu được vế phải.

Trước hết, hãy nhớ lại công thức phân tích hiệu lập phương của hai số:
\[ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \]

Bây giờ, chúng ta sẽ biến đổi biểu thức \( (x - y)[(x - y)^2 + 3xy] \) để kiểm tra xem nó có bằng \( x^3 - y^3 \) hay không.

Ta có:
\[ (x - y)[(x - y)^2 + 3xy] \]

Khai triển biểu thức bên trong dấu ngoặc vuông:
\[ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \]

Do đó:
\[ (x - y)[(x - y)^2 + 3xy] = (x - y)[x^2 - 2xy + y^2 + 3xy] \]

Kết hợp các hạng tử trong dấu ngoặc vuông:
\[ x^2 - 2xy + y^2 + 3xy = x^2 + xy + y^2 \]

Vậy:
\[ (x - y)[x^2 + xy + y^2] \]

Theo công thức phân tích hiệu lập phương của hai số, ta có:
\[ (x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3 \]

Do đó, ta đã chứng minh được rằng:
\[ x^3 - y^3 = (x - y)[(x - y)^2 + 3xy] \]

Vậy, đẳng thức đã được chứng minh.