Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng định luật bảo toàn năng lượng. Khi hòn bi nhôm được thả vào nước, nhiệt lượng mất đi của hòn bi nhôm sẽ bằng nhiệt lượng nhận được của nước.

### Bước 1: Xác định khối lượng của nước và hòn bi nhôm

Giả sử thể tích của nước trong bình là \( V \) (m^3).

Khối lượng của nước:
\[ m_{\text{nước}} = D_{\text{nước}} \cdot V = 1000 \cdot V \, \text{kg} \]

Khối lượng của hòn bi nhôm:
\[ m_{\text{nhôm}} = D_{\text{nhôm}} \cdot V_{\text{bi}} = 2700 \cdot V_{\text{bi}} \, \text{kg} \]

### Bước 2: Thiết lập phương trình cân bằng nhiệt cho lần thả hòn bi thứ nhất

Nhiệt lượng mất đi của hòn bi nhôm khi nhiệt độ giảm từ 100°C xuống 30,3°C:
\[ Q_{\text{mất}} = m_{\text{nhôm}} \cdot c_{\text{nhôm}} \cdot (100 - 30,3) \]

Nhiệt lượng nhận được của nước khi nhiệt độ tăng từ 20°C lên 30,3°C:
\[ Q_{\text{nhận}} = m_{\text{nước}} \cdot c_{\text{nước}} \cdot (30,3 - 20) \]

Theo định luật bảo toàn năng lượng:
\[ m_{\text{nhôm}} \cdot c_{\text{nhôm}} \cdot (100 - 30,3) = m_{\text{nước}} \cdot c_{\text{nước}} \cdot (30,3 - 20) \]

Thay các giá trị đã biết vào:
\[ 2700 \cdot V_{\text{bi}} \cdot c_{\text{nhôm}} \cdot 69,7 = 1000 \cdot V \cdot 4200 \cdot 10,3 \]

### Bước 3: Thiết lập phương trình cân bằng nhiệt cho lần thả hòn bi thứ hai

Nhiệt lượng mất đi của hòn bi nhôm khi nhiệt độ giảm từ 100°C xuống 42,6°C:
\[ Q_{\text{mất}} = m_{\text{nhôm}} \cdot c_{\text{nhôm}} \cdot (100 - 42,6) \]

Nhiệt lượng nhận được của nước khi nhiệt độ tăng từ 30,3°C lên 42,6°C:
\[ Q_{\text{nhận}} = m_{\text{nước}} \cdot c_{\text{nước}} \cdot (42,6 - 30,3) \]

Theo định luật bảo toàn năng lượng:
\[ m_{\text{nhôm}} \cdot c_{\text{nhôm}} \cdot (100 - 42,6) = m_{\text{nước}} \cdot c_{\text{nước}} \cdot (42,6 - 30,3) \]

Thay các giá trị đã biết vào:
\[ 2700 \cdot V_{\text{bi}} \cdot c_{\text{nhôm}} \cdot 57,4 = 1000 \cdot V \cdot 4200 \cdot 12,3 \]

### Bước 4: Giải hệ phương trình

Từ phương trình thứ nhất:
\[ 2700 \cdot V_{\text{bi}} \cdot c_{\text{nhôm}} \cdot 69,7 = 1000 \cdot V \cdot 4200 \cdot 10,3 \]
\[ 2700 \cdot V_{\text{bi}} \cdot c_{\text{nhôm}} = \frac{1000 \cdot V \cdot 4200 \cdot 10,3}{69,7} \]
\[ 2700 \cdot V_{\text{bi}} \cdot c_{\text{nhôm}} = 621000 \cdot \frac{V}{69,7} \]
\[ c_{\text{nhôm}} = \frac{621000}{2700 \cdot 69,7} \]

Từ phương trình thứ hai:
\[ 2700 \cdot V_{\text{bi}} \cdot c_{\text{nhôm}} \cdot 57,4 = 1000 \cdot V \cdot 4200 \cdot 12,3 \]
\[ 2700 \cdot V_{\text{bi}} \cdot c_{\text{nhôm}} = \frac{1000 \cdot V \cdot 4200 \cdot 12,3}{57,4} \]
\[ 2700 \cdot V_{\text{bi}} \cdot c_{\text{nhôm}} = 516600 \cdot \frac{V}{57,4} \]
\[ c_{\text{nhôm}} = \frac{516600}{2700 \cdot 57,4} \]

### Bước 5: Tính giá trị của \( c_{\text{nhôm}} \)

Từ phương trình thứ nhất:
\[ c_{\text{nhôm}} = \frac{621000}{2700 \cdot 69,7} \approx 3.29 \, \text{J/kg.K} \]

Từ phương trình thứ hai:
\[ c_{\text{nhôm}} = \frac{516600}{2700 \cdot 57,4} \approx 3.29 \, \text{J/kg.K} \]

Vậy, nhiệt dung riêng của nhôm là:
\[ c_{\text{nhôm}} \approx 3.29 \, \text{J/kg.K} \]