Để giải bài toán này, ta cần xác định khoảng thời gian ngắn nhất để vật dao động điều hòa từ vị trí có li độ \( x = 4\sqrt{2} \) cm đến vị trí có vận tốc \( v = 8\pi \) cm/s.

Phương trình dao động điều hòa của vật là:
\[ x = 10 \cos(2\pi t) \]

1. **Tìm thời điểm vật ở vị trí có li độ \( x = 4\sqrt{2} \) cm:**

Ta có:
\[ x = 10 \cos(2\pi t) = 4\sqrt{2} \]

Giải phương trình này:
\[ \cos(2\pi t) = \frac{4\sqrt{2}}{10} = \frac{2\sqrt{2}}{5} \]

Gọi \( \alpha = 2\pi t \), ta có:
\[ \cos(\alpha) = \frac{2\sqrt{2}}{5} \]

Do đó:
\[ \alpha = \pm \cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{5}\right) + 2k\pi \]

Vậy:
\[ 2\pi t = \pm \cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{5}\right) + 2k\pi \]

\[ t = \frac{\pm \cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{5}\right) + 2k\pi}{2\pi} \]

2. **Tìm thời điểm vật có vận tốc \( v = 8\pi \) cm/s:**

Vận tốc của vật dao động điều hòa là:
\[ v = -\frac{dx}{dt} = -10 \cdot 2\pi \sin(2\pi t) = -20\pi \sin(2\pi t) \]

Ta có:
\[ -20\pi \sin(2\pi t) = 8\pi \]

Giải phương trình này:
\[ \sin(2\pi t) = -\frac{2}{5} \]

Gọi \( \beta = 2\pi t \), ta có:
\[ \sin(\beta) = -\frac{2}{5} \]

Do đó:
\[ \beta = \pm \sin^{-1}\left(-\frac{2}{5}\right) + 2k\pi \]

\[ \beta = \pm \left(-\sin^{-1}\left(\frac{2}{5}\right)\right) + 2k\pi \]

\[ \beta = \mp \sin^{-1}\left(\frac{2}{5}\right) + 2k\pi \]

Vậy:
\[ 2\pi t = \mp \sin^{-1}\left(\frac{2}{5}\right) + 2k\pi \]

\[ t = \frac{\mp \sin^{-1}\left(\frac{2}{5}\right) + 2k\pi}{2\pi} \]

3. **Tìm khoảng thời gian ngắn nhất:**

Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai thời điểm này là:
\[ \Delta t = \left| \frac{\pm \cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{5}\right) - \mp \sin^{-1}\left(\frac{2}{5}\right)}{2\pi} \right| \]

Do đó, khoảng thời gian ngắn nhất để vật từ vị trí có li độ \( x = 4\sqrt{2} \) cm đến vị trí có vận tốc \( v = 8\pi \) cm/s là:
\[ \Delta t = \frac{\left| \cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{5}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{2}{5}\right) \right|}{2\pi} \]

Vậy:
\[ \Delta t = \frac{\cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{5}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{2}{5}\right)}{2\pi} \]

Đây là khoảng thời gian ngắn nhất cần tìm.