Tìm các cặp số nguyên dương x,y sao cho (x^2 +2) chia hết cho (xy+2)

Để tìm các cặp số nguyên dương \( (x, y) \) sao cho \( \frac{x^2 + 2}{xy + 2} \) là một số nguyên, ta cần điều kiện \( x^2 + 2 \) chia hết cho \( xy + 2 \). Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên \( k \) sao cho:

\[ x^2 + 2 = k(xy + 2) \]

Ta có thể viết lại phương trình này như sau:

\[ x^2 + 2 = kxy + 2k \]

Chuyển hết các hạng tử về một vế, ta được:

\[ x^2 - kxy + 2 - 2k = 0 \]

Đây là một phương trình bậc hai theo \( x \). Để phương trình này có nghiệm nguyên dương \( x \), thì biểu thức dưới dấu căn của nghiệm phải là một số chính phương. Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

\[ x = \frac{k y \pm \sqrt{(k y)^2 - 4(2 - 2k)}}{2} \]

Để \( x \) là số nguyên dương, biểu thức dưới dấu căn phải là một số chính phương. Do đó, ta cần:

\[ (k y)^2 - 4(2 - 2k) = m^2 \]

với \( m \) là một số nguyên. Ta có:

\[ k^2 y^2 - 4(2 - 2k) = m^2 \]

\[ k^2 y^2 - 8 + 8k = m^2 \]

Để đơn giản hóa, ta thử một số giá trị nhỏ của \( k \) và kiểm tra xem có nghiệm nguyên dương \( x \) và \( y \) hay không.

**Trường hợp \( k = 1 \):**

\[ x^2 - xy + 2 - 2 = 0 \]

\[ x^2 - xy = 0 \]

\[ x(x - y) = 0 \]

Vì \( x \) và \( y \) là các số nguyên dương, nên \( x = y \). Khi đó, ta có:

\[ x = y \]

**Trường hợp \( k = 2 \):**

\[ x^2 - 2xy + 2 - 4 = 0 \]

\[ x^2 - 2xy - 2 = 0 \]

Để phương trình này có nghiệm nguyên dương, ta cần kiểm tra biểu thức dưới dấu căn:

\[ (2y)^2 + 8 = m^2 \]

\[ 4y^2 + 8 = m^2 \]

\[ m^2 - 4y^2 = 8 \]

Đây là phương trình Pell, nhưng không có nghiệm nguyên dương cho \( y \).

**Trường hợp \( k = 3 \):**

\[ x^2 - 3xy + 2 - 6 = 0 \]

\[ x^2 - 3xy - 4 = 0 \]

Để phương trình này có nghiệm nguyên dương, ta cần kiểm tra biểu thức dưới dấu căn:

\[ (3y)^2 + 16 = m^2 \]

\[ 9y^2 + 16 = m^2 \]

\[ m^2 - 9y^2 = 16 \]

Đây cũng là phương trình Pell, nhưng không có nghiệm nguyên dương cho \( y \).

Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng chỉ có \( k = 1 \) là có nghiệm nguyên dương \( x = y \).

Vậy, các cặp số nguyên dương \( (x, y) \) thỏa mãn điều kiện \( \frac{x^2 + 2}{xy + 2} \) là số nguyên là các cặp có dạng:

\[ (x, x) \]

với \( x \) là số nguyên dương.