Để chứng minh phân số:

\[
\frac{10n + 5n + 4}{20n + 20n + 9}
\]

là tối giản, ta cần kiểm tra điều kiện rằng tử số và mẫu số có ước chung lớn nhất (ƯCLN) bằng 1.

### Bước 1: Tìm tử số

Tử số là:

\[
10n + 5n + 4 = 15n + 4
\]

### Bước 2: Tìm mẫu số

Mẫu số là:

\[
20n + 20n + 9 = 40n + 9
\]

### Bước 3: Tìm ƯCLN

Ta sẽ dùng thuật toán Euclid để tìm ƯCLN của \( 15n + 4 \) và \( 40n + 9 \).

1. Tính \( 40n + 9 \mod (15n + 4) \).

2. Thực hiện phép chia và lấy phần dư.

- Chia \( 40n + 9 \) cho \( 15n + 4 \):

\[
\frac{40n + 9}{15n + 4} \approx 2 \quad \text{(cung cấp phần nguyên)}
\]

- Tính phần dư:

\[
40n + 9 - 2(15n + 4) = 40n + 9 - 30n - 8 = 10n + 1
\]

3. Tiếp tục với \( 15n + 4 \) và \( 10n + 1 \).

4. Chia \( 15n + 4 \) cho \( 10n + 1 \):

\[
\frac{15n + 4}{10n + 1} \approx 1
\]

- Phần dư là:

\[
15n + 4 - (10n + 1) = 5n + 3
\]

5. Tiếp tục với \( 10n + 1 \) và \( 5n + 3 \).

6. Chia \( 10n + 1 \) cho \( 5n + 3 \):

\[
\frac{10n + 1}{5n + 3} \approx 1
\]

- Phần dư là:

\[
10n + 1 - (5n + 3) = 5n - 2
\]

7. Tiếp tục với \( 5n + 3 \) và \( 5n - 2 \):

8. Chia \( 5n + 3 \) cho \( 5n - 2 \):

\[
\frac{5n + 3}{5n - 2} \approx 1
\]

- Phần dư là:

\[
5n + 3 - (5n - 2) = 5
\]

9. Tiếp tục với \( 5n - 2 \) và \( 5 \):

10. Chia \( 5n - 2 \) cho \( 5 \):

\[
(5n - 2) \mod 5 = 3
\]

11. Chia \( 5 \) cho \( 3 \):

12. Kết quả sẽ cho \( ƯCLN(15n + 4, 40n + 9) = 1 \), chứng tỏ rằng phân số là tối giản.

### Kết luận

Như vậy, ta đã chứng minh rằng phân số:

\[
\frac{10n + 5n + 4}{20n + 20n + 9}
\]

là tối giản khi ƯCLN của tử và mẫu là 1.