Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các định lý và tính chất hình học cơ bản.

### a. Chứng minh EF là đường trung bình của tam giác ABC

Để chứng minh EF là đường trung bình của tam giác ABC, ta cần chứng minh EF song song với BC và EF bằng một nửa BC.

- Vì E là trung điểm của AB và EF song song với BC (theo giả thiết), nên theo định lý đường trung bình trong tam giác, EF là đường trung bình của tam giác ABC.
- Do đó, EF = 1/2 BC.

### b. Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Vẽ điểm P sao cho F là trung điểm của DP. Tứ giác ADCP là tứ giác đặc biệt gì? Vì sao?

- Vì F là trung điểm của DP, nên DF = FP.
- Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D, theo định lý phân giác trong tam giác, ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

- Xét tứ giác ADCP:
- Ta có AD là tia phân giác của góc BAC.
- F là trung điểm của DP.

Do đó, tứ giác ADCP là tứ giác hình thang cân vì:
- AD song song với CP (do AD là tia phân giác và F là trung điểm của DP).
- DF = FP (F là trung điểm của DP).

### c. Chứng minh DB.FC = DC.AE

- Ta có E là trung điểm của AB, nên AE = 1/2 AB.
- EF là đường trung bình của tam giác ABC, nên EF = 1/2 BC.
- Vì EF song song với BC, nên tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ lệ 1:2.

Do đó, ta có:
\[
\frac{AE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{1}{2}
\]

- Xét tam giác ABD và tam giác ACD, theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

- Vì tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC, nên ta có:
\[
\frac{EF}{BC} = \frac{AE}{AB}
\]

- Do đó, ta có:
\[
\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

- Suy ra:
\[
DB \cdot AC = DC \cdot AB
\]

- Vì AE = 1/2 AB, nên ta có:
\[
DB \cdot AC = DC \cdot 2AE
\]

- Suy ra:
\[
DB \cdot AC = 2DC \cdot AE
\]

- Vì EF = 1/2 BC, nên ta có:
\[
FC = 1/2 BC
\]

- Suy ra:
\[
DB \cdot FC = DC \cdot AE
\]

Vậy ta đã chứng minh được:
\[
DB \cdot FC = DC \cdot AE
\]