Cho các số nguyên a; b; c. Chứng minh rằng: Nếu a^2 + b^2 + c^2 chia hết cho 6 thì a + b + c chia hết cho 6

Để chứng minh rằng nếu \(a^2 + b^2 + c^2\) chia hết cho 6 thì \(a + b + c\) chia hết cho 6, ta sẽ xem xét các trường hợp của \(a, b, c\) theo modulo 6.

Trước hết, ta cần biết rằng các số nguyên khi chia cho 6 chỉ có thể có các dư số là 0, 1, 2, 3, 4, hoặc 5. Ta sẽ xem xét bình phương của các số này theo modulo 6:

- \(0^2 \equiv 0 \pmod{6}\)
- \(1^2 \equiv 1 \pmod{6}\)
- \(2^2 \equiv 4 \pmod{6}\)
- \(3^2 \equiv 9 \equiv 3 \pmod{6}\)
- \(4^2 \equiv 16 \equiv 4 \pmod{6}\)
- \(5^2 \equiv 25 \equiv 1 \pmod{6}\)

Như vậy, các giá trị bình phương theo modulo 6 có thể là 0, 1, 3, hoặc 4.

Bây giờ, ta xét tổng \(a^2 + b^2 + c^2 \equiv 0 \pmod{6}\). Điều này có nghĩa là tổng của các giá trị bình phương phải chia hết cho 6. Ta sẽ xem xét các tổ hợp của các giá trị bình phương để tìm ra các trường hợp mà tổng của chúng chia hết cho 6.

Các tổ hợp có thể xảy ra là:
1. \(0 + 0 + 0 \equiv 0 \pmod{6}\)
2. \(1 + 1 + 4 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{6}\)
3. \(1 + 4 + 1 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{6}\)
4. \(4 + 1 + 1 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{6}\)
5. \(3 + 3 + 0 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{6}\)
6. \(0 + 3 + 3 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{6}\)
7. \(3 + 0 + 3 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{6}\)

Bây giờ, ta sẽ xem xét các giá trị của \(a, b, c\) tương ứng với các tổ hợp trên để kiểm tra xem tổng \(a + b + c\) có chia hết cho 6 hay không.

1. Nếu \(a, b, c \equiv 0 \pmod{6}\), thì \(a + b + c \equiv 0 \pmod{6}\).
2. Nếu \(a, b \equiv 1 \pmod{6}\) và \(c \equiv 4 \pmod{6}\), thì \(a + b + c \equiv 1 + 1 + 4 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{6}\).
3. Nếu \(a \equiv 1 \pmod{6}\), \(b \equiv 4 \pmod{6}\), và \(c \equiv 1 \pmod{6}\), thì \(a + b + c \equiv 1 + 4 + 1 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{6}\).
4. Nếu \(a \equiv 4 \pmod{6}\), \(b \equiv 1 \pmod{6}\), và \(c \equiv 1 \pmod{6}\), thì \(a + b + c \equiv 4 + 1 + 1 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{6}\).
5. Nếu \(a, b \equiv 3 \pmod{6}\) và \(c \equiv 0 \pmod{6}\), thì \(a + b + c \equiv 3 + 3 + 0 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{6}\).
6. Nếu \(a \equiv 0 \pmod{6}\) và \(b, c \equiv 3 \pmod{6}\), thì \(a + b + c \equiv 0 + 3 + 3 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{6}\).
7. Nếu \(a \equiv 3 \pmod{6}\), \(b \equiv 0 \pmod{6}\), và \(c \equiv 3 \pmod{6}\), thì \(a + b + c \equiv 3 + 0 + 3 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{6}\).

Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng nếu \(a^2 + b^2 + c^2\) chia hết cho 6 thì \(a + b + c\) cũng chia hết cho 6.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng nếu \(a^2 + b^2 + c^2\) chia hết cho 6 thì \(a + b + c\) chia hết cho 6.