Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là \( \overline{ab} \), trong đó \( a \) và \( b \) là các chữ số và \( a \neq 0 \). Khi đó, số này có giá trị là \( 10a + b \).

Theo đề bài, tổng các chữ số của số này là 9:
\[ a + b = 9 \]

Nếu số này tăng thêm 63 đơn vị, ta được số mới có các chữ số ngược lại, tức là \( \overline{ba} \). Số này có giá trị là \( 10b + a \).

Do đó, ta có phương trình:
\[ 10a + b + 63 = 10b + a \]

Giải phương trình này:
\[ 10a + b + 63 = 10b + a \]
\[ 10a - a + b - 10b = -63 \]
\[ 9a - 9b = -63 \]
\[ 9(a - b) = -63 \]
\[ a - b = -7 \]

Chúng ta có hệ phương trình:
\[ a + b = 9 \]
\[ a - b = -7 \]

Cộng hai phương trình này lại:
\[ (a + b) + (a - b) = 9 + (-7) \]
\[ 2a = 2 \]
\[ a = 1 \]

Thay \( a = 1 \) vào phương trình \( a + b = 9 \):
\[ 1 + b = 9 \]
\[ b = 8 \]

Vậy số ban đầu là \( \overline{ab} = 18 \).

Kiểm tra lại:
- Tổng các chữ số: \( 1 + 8 = 9 \) (đúng).
- Số mới khi tăng thêm 63: \( 18 + 63 = 81 \), là số ngược lại của 18 (đúng).

Vậy số ban đầu là \( 18 \).