Để chứng minh \( \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{4}{9DE^2} \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tính độ dài cạnh BC:**
Tam giác ABC vuông tại A, do đó ta có:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

2. **Xác định vị trí điểm D trên AC:**
Gọi \( DA = x \), do \( DC = 2DA \) nên \( DC = 2x \). Vì \( AC = DA + DC \), ta có:
\[
x + 2x = 8 \implies 3x = 8 \implies x = \frac{8}{3}
\]
Vậy \( DA = \frac{8}{3} \) và \( DC = \frac{16}{3} \).

3. **Tính độ dài đoạn DE:**
Vì DE vuông góc với BC, ta cần tìm tọa độ điểm D và E. Đặt A tại gốc tọa độ (0,0), B tại (6,0), và C tại (0,8).

Điểm D nằm trên AC, nên tọa độ của D là:
\[
D \left( 0, \frac{8}{3} \right)
\]

Đường thẳng BC có phương trình:
\[
y = -\frac{4}{3}x + 8
\]

Đường thẳng DE vuông góc với BC nên có hệ số góc là nghịch đảo âm của \(-\frac{4}{3}\), tức là \(\frac{3}{4}\). Phương trình DE có dạng:
\[
y - \frac{8}{3} = \frac{3}{4}(x - 0) \implies y = \frac{3}{4}x + \frac{8}{3}
\]

Tìm giao điểm E của DE và BC bằng cách giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
y = -\frac{4}{3}x + 8 \\
y = \frac{3}{4}x + \frac{8}{3}
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
\[
-\frac{4}{3}x + 8 = \frac{3}{4}x + \frac{8}{3}
\]
Nhân cả hai vế với 12 để khử mẫu:
\[
-16x + 96 = 9x + 32
\]
\[
96 - 32 = 25x
\]
\[
64 = 25x \implies x = \frac{64}{25}
\]

Thay \( x = \frac{64}{25} \) vào phương trình \( y = \frac{3}{4}x + \frac{8}{3} \):
\[
y = \frac{3}{4} \cdot \frac{64}{25} + \frac{8}{3} = \frac{192}{100} + \frac{8}{3} = \frac{48}{25} + \frac{8}{3}
\]
Quy đồng mẫu số:
\[
y = \frac{144}{75} + \frac{200}{75} = \frac{344}{75}
\]

Tọa độ điểm E là \( \left( \frac{64}{25}, \frac{344}{75} \right) \).

Độ dài đoạn DE:
\[
DE = \sqrt{\left( \frac{64}{25} - 0 \right)^2 + \left( \frac{344}{75} - \frac{8}{3} \right)^2}
\]
\[
= \sqrt{\left( \frac{64}{25} \right)^2 + \left( \frac{344}{75} - \frac{200}{75} \right)^2}
\]
\[
= \sqrt{\left( \frac{64}{25} \right)^2 + \left( \frac{144}{75} \right)^2}
\]
\[
= \sqrt{\left( \frac{64}{25} \right)^2 + \left( \frac{48}{25} \right)^2}
\]
\[
= \sqrt{\frac{4096}{625} + \frac{2304}{625}}
\]
\[
= \sqrt{\frac{6400}{625}} = \sqrt{10.24} = 3.2
\]

4. **Chứng minh đẳng thức:**
\[
\frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{1}{6^2} + \frac{1}{8^2} = \frac{1}{36} + \frac{1}{64}
\]
Quy đồng mẫu số:
\[
\frac{1}{36} + \frac{1}{64} = \frac{64}{2304} + \frac{36}{2304} = \frac{100}{2304} = \frac{25}{576}
\]

\[
\frac{4}{9DE^2} = \frac{4}{9 \cdot (3.2)^2} = \frac{4}{9 \cdot 10.24} = \frac{4}{92.16} = \frac{25}{576}
\]

Vậy ta có:
\[
\frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{4}{9DE^2}
\]

Đẳng thức đã được chứng minh.