Để chứng minh đẳng thức \((x+2y)^3 - (x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) = 6xy(x+2y)\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Khai triển biểu thức \((x+2y)^3\):**

\[
(x+2y)^3 = (x+2y)(x+2y)(x+2y)
\]

Khai triển từng bước:

\[
(x+2y)(x+2y) = x^2 + 4xy + 4y^2
\]

Tiếp tục nhân với \((x+2y)\):

\[
(x^2 + 4xy + 4y^2)(x+2y) = x^3 + 2x^2y + 4xy^2 + 4xy^2 + 8y^3 = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3
\]

Vậy:

\[
(x+2y)^3 = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3
\]

2. **Khai triển biểu thức \((x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)\):**

\[
(x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) = x(x^2 - 2xy + 4y^2) + 2y(x^2 - 2xy + 4y^2)
\]

Khai triển từng phần:

\[
x(x^2 - 2xy + 4y^2) = x^3 - 2x^2y + 4xy^2
\]

\[
2y(x^2 - 2xy + 4y^2) = 2yx^2 - 4xy^2 + 8y^3
\]

Cộng lại:

\[
(x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) = x^3 - 2x^2y + 4xy^2 + 2x^2y - 4xy^2 + 8y^3 = x^3 + 8y^3
\]

3. **Trừ hai biểu thức đã khai triển:**

\[
(x+2y)^3 - (x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) = (x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3) - (x^3 + 8y^3)
\]

Kết quả:

\[
= x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3 - x^3 - 8y^3
\]

\[
= 6x^2y + 12xy^2
\]

4. **Rút gọn biểu thức:**

\[
6x^2y + 12xy^2 = 6xy(x + 2y)
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng:

\[
(x+2y)^3 - (x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) = 6xy(x+2y)
\]